Liikumine Maa külgetõmbe mõjul

Vaba langemine

Gravitatsioon (gravitas — ladina k. raskus) on vastastikmõju, millele alluvad kõik kehad, nii kosmilised kui ka maapealsed. Meie poolt igapäevaselt tajutav gravitatsioon on Maa külgetõmme. Kõik kehad tõmbuvad Maa keskpunkti poole ja omavad seepärast raskust. Kui keha lahti pääseb, kukub see alla. Selle üle, kuidas kehad Maa külgetõmbe tõttu kukuvad, juureldi juba tuhandeid aastaid tagasi. Kui kreeka mõttetark Aristoteles oli veendunud, et rasked kehad kukuvad kergematest kiiremini, siis 2000 aastat hiljem näitas itaalia teadlane Galileo Galilei, et kõik kehad liiguvad Maa külgetõmbe mõjul ühtemoodi.

Kerge ja raske kuul maanduvad korraga

Tegelikult oli õigus ka Aristotelesel. Kõik me oleme kogenud, et korraga käest lahti lastud metallraha ja paberileht ei maandu korraga. Paber kukub aeglasemalt, kuna langemist segab õhutakistus. Suhteliselt raskete esemete korral (metallkuulid, kivid) jääb õhutakistus raskusjõu kõrval aga väikeseks ja kehad maanduvad siis korraga.

Sellist kehade kukkumist, kus õhutakistus puudub või on väike, nimetatakse vabaks langemiseks. Katsed näitavad, et vabalt langevatel kehadel kasvab kiirus ühtmoodi – see ei sõltu raskusest ja kujust. Torus, millest on õhk välja pumbatud, kukuvad tinahaavel ja udusulg kõrvuti.

Õhutakistuse puudumisel kukkumine on vaba langemine

Vaba langemine on ühtlaselt muutuv liikumine. Kõik kehad saavad sõltumata massist ja juba olemasoleva kiiruse suurusest ning suunast Maa külgetõmbe toimel ühesuguse kiirenduse. Seda nn vaba langemise kiirendust on mõõdetud Maa eri paigus ja erinevatel meetoditel ning tulemuseks on saadud alati ligikaudu 9,8 m/s². Vaba langemise kiirenduse tähis on g ja see on suunatud alati alla, Maa keskpunkti poole.

Vabalt langeva keha kiiruse ja kõrguse sõltuvus ajast

Vaba langemine on ühtlaselt muutuv liikumine ja selle käigus keha kõrgus muutub. Sellise liikumise korral on püstsuunaliseks koordinaadiks mõistlik võtta keha kõrgus. Telg on sel juhul suunatud alt üles ning koordinaadi ehk kõrguse tähiseks on tavaliselt h (height — inglise k. kõrgus). Sageli kasutatakse püstkoordinaadina ka y.

Keha liikumist Maa külgetõmbe mõjul saab kirjeldada ühtlaselt muutuva liikumise mudeli abil. Lähtume kiiruse ajast sõltuvuse valemist (1.12’) ja liikumisvõrrandist (1.19):

Neis avaldistes tuleb kiirenduseks võtta vaba langemise kiirendus ning koordinaadiks kõrgus h.

x → h a → – g

Et kõrgus on suunatud alt üles ja vaba langemise kiirendus ülalt alla, on sellises koordinaatsüsteemis vaba langemise kiirendus negatiivne ja valemites tuleb võtta a = – g. Selliselt toimides saame vabalt langeva keha kiiruse ja kõrguse ajast sõltuvuse jaoks järgmised seosed:

Kui näiteks kivi üles visata, on valemites algkiirus v₀ positiivne, allaviskamisel negatiivne ja lihtsalt käest pillamisel null. Sümbol h0 tähistab kõrgust aja alghetkel ehk algkõrgust. Kõrguse nullpunkt valitakse vastavalt olukorrale. Enamasti on selleks maapind. Vaba langemise kiirenduse väärtuseks võetakse 9,8 m/s², kuid kui pole öeldud teisiti, võib kooliülesannete lahendamisel kasutada väärtust 10 m/s².

Horisondiga kaldu visatud keha liikumine

Kui kõrgushüppaja võitleb gravitatsiooniga, et tõusta kõrgele, siis kuulitõukaja peab kuuli lennutama võimalikult kaugele. Mismoodi toimida? Algkiirus peab olema võimalikult suur, kuid ka tõukesuund on oluline. Mida kõrgemale kuul tõuseb, seda kauem see õhus püsib. Samas ei saa kogu energiat kõrguse saavutamiseks kulutada, osa tuleb panustada edasiliikumisesse.

Kaldu visatud keha liikumist saab vaadata kui kahte korraga toimuvat sõltumatut liikumist. Üks on suunatud üles-alla ja allub vaba langemise seadustele ning teine horisontaalsuunas ja on kõrvaliste mõjude puudumisel ühtlane sirgjooneline. Kaks erisihilist korraga toimuvat liikumist on teineteisest täiesti sõltumatud ja neid saab kirjeldada eraldi võrrandite abil.

Kuul liigub üles-alla ja samal ajal ka edasi

Kaldu visatud keha liikumise kirjeldamiseks on vaja kahte koordinaattelge. Üles-alla toimuva muutuva liikumise jaoks kasutame püstist kõrguse telge h ja horisontaalsuunas ühtlaselt edasi liikumise jaoks telge x. Selleks, et nende kahe koordinaattelje jaoks saaks liikumisvõrrandid kirja panna, on vaja ka algkiirus v₀ jagada kaheks komponendiks — püstsuunaliseks v_0h ja horisontaalsuunaliseks v_0x.

Kiiruse saab lahutada kaheks komponendiks

Jooniselt on näha, et kiiruse komponentide suurused saab täisnurksetest kolmnurkadest siinus- ja koosinusfunktsiooni abil (α on viskenurk horisontaalsihi suhtes):

Nende avaldistega tuleb vastavad suurused asendada liikumisvõrrandites (1.8) ja (1.21). Kuna nüüd on meil ühe liikumise asemel korraga kaks, siis peame selle kirjeldamiseks kasutama ühe liikumisvõrrandi asemel kahest võrrandist koosnevat süsteemi:

Kaldu visatud keha liikumist kirjeldatakse kahest sõltumatust kiikumisvõrrandist koosneva süsteemiga

Sagedamini tulevad ette ülesanded, kus keha alustab liikumist maapinnalt. Sel juhul võetakse mõlemad algkoordinaadid h₀ ja x₀ nulliks. Liikumisvõrrandite süsteemi (1.24) abil saame leida horisondiga nurga α all visatud keha koordinaadid h ja x mistahes ajahetkel t. Kui soovime leida lennukaugust ja –kõrgust, tuleb esmalt leida lennuaeg. Lennu lõpus kukub keha maha ning kõrgus h = 0. Seda väärtust kasutades saame esimesest võrrandist avaldada lennuaja. Teades lennuaega, leiame teisest võrrandist sellele vastava kauguse x. Lennukõrguse leidmiseks kasutame jälle esimest võrrandit, võttes ajaks seekord poole kogu lennuajast, kuna just lennu keskmomendil on keha oma trajektoori kõrgeimas punktis.

Vastastikmõju ja selle kirjeldamine

Vastastikmõju

Kui päästerõngas vee alla suruda, tõukab vesi selle pinnale tagasi. Tuul puhub purje pingule ning paneb jahi mööda veepinda liikuma. Riputatud koormise toimel venib vedru pikemaks. Tõstja sikutab raske kangi maast lahti. Udusulg hõljub õhus ega kuku maha. Pärast kammimist hakkab kamm juukseid ligi tõmbama. Sepavasara löök painutab kuuma raudlati kõveraks.

Selliseid näiteid võib tuua väga palju. Need on küll kõik väga erinevad, kuid ühes siiski sarnased — ühe kehaga juhtub midagi teise keha mõjul. Neid näiteid ühendab nähtus, mida nimetatakse vastastikmõjuks.

Vastastikmõjud on väga erinevad

Mille järgi tunneme ära, et vastastikmõju on aset leidnud? Kui üks keha mõjutab teist, siis selle tagajärjel toimub mingi muutus. Siin on mitu võimalust — vastastikmõju tagajärjel võib muutuda keha kuju, ruumala või liikumine.

Kuju muutub näiteks õhupallil, kui me seda täis puhume ja kristallvaasil, mis maha pillatakse. Alati ei pruugi me kujumuutust märgatagi. Kui me trepile astume, ei näi midagi erilist juhtuvat. Tegelikult trepiaste siiski veidi paindub.

Vastastikmõju tagajärjel muutub keha kuju

Liikumise juures saab vastastikmõju muuta kiiruse arvväärtust ja suunda. Kui tahame auto kiirust vähendada, kasutame kummide ja teekatte vahelist pidurdavat mõju. Kiiruse väärtus muutub Maa külgetõmbe tõttu näiteks ülesvisatud pallil. Algul see väheneb, siis pall peatub hetkeks ning allakukkumisel hakkab kiirus jälle kasvama. Viimases näites muutub ka palli liikumise suund.

Vastastikmõju tagajärjel muutub keha liikumise kiirus ja suund

Kui auto suure kiirusega kurvi siseneb, siis libeda korral ei pruugi see teel püsida. Kurvis püsimiseks peab rataste ja teekatte vahel olema piisava tugevusega vastastikmõju, et liikumise suund selle tagajärjel vajalikul hulgal muutuks. Vastastikmõju tagajärjel muutub keha liikumine. Et liikumise muutumise põhjusi uurib mehaanika haru dünaamika, siis ongi vastastikmõju dünaamika jaoks üks olulisemaid nähtusi.

Ühegi keha liikumist ei saa muuta ilma teise keha mõjuta. Näiteks ei saa paati seisvas vees liikuma panna, kui pole tuult ega aere. Ka auto ei saaks paigalt sõita, kui puuduks teine keha, millelt end liikuma tõugata (teekate). Vastastikmõjus osaleb alati vähemalt kaks keha.

Vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha

Jõud

Vastastikmõjud võivad olla erineva tugevusega. Seda näeme tagajärje suuruse järgi. Erinevad raskused venitavad sama vedru erineva pikkuse võrra ja tugevam mängija suudab pallile anda suurema hoo.

Et erinevaid vastastikmõjusid omavahel võrrelda ja uurida, mil määral sõltuvad tagajärjed vastastikmõju tugevusest, on kasutusele võetud füüsikaline suurus jõud.

Jõud on vastastikmõju mõõduks ja selle arvväärtus iseloomustab vastastikmõju tugevust. Vastastikmõju põhjustab kas keha kuju või kiiruse muutuse. Kuna nii kujumuutusel kui ka kiiruse muutumisel (kiirendusel) on kindel suund, siis peab ka jõud olema suunaga. Järelikult on jõud vektoriaalne suurus.

Jõud on vektor

Jõu tähiseks valemites ja joonistel on \(\vec F\) (fortis — ladina k. tugev, võimas). Jõu arvulise väärtuse väljendamisel, kui suund pole oluline, kasutatakse ilma vektorimärgita tähist F.

Jõu mõõtmiseks on kaks põhimõtteliselt erinevat võimalust. Võib mõõta vastastikmõju poolt tingitud kujumuutuse ehk deformatsiooni suurust.

Jõudu saab mõõta selle poolt tekitatud deformatsiooni ja kiirenduse kaudu

Näiteks meile tuttav dünamomeeter näitab jõu suurust vedru pikenemise kaudu. Teiseks saab jõu suurust arvutada selle kaudu, kui palju vastastikmõju tuntud massiga keha kiirust muudab ehk siis mõju poolt antava kiirenduse kaudu.

Klassikalise mehaanika rajaja I. Newtoni auks on SI jõu mõõtühiku nimeks võetud njuuton (N). Üks njuuton on sellise suurusega jõud, mis annab kehale massiga 1 kg kiirenduse 1 m/s².

Jõud 1 N annab 1 kg massiga kehale kiirenduse 1 m/s²

Jõudude liitmine

See, et vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha, ei tähenda, et kehasid ei võiks rohkem olla. Tihti ongi just nii, et korraga mõjub mitu jõudu. Korraga kehale mõjuval mitmel jõul ei ole aga siiski mitut erinevat tagajärge. Näiteks kui vees ujuvale õngekorgile mõjuv raskusjõud on suunatud alla ja samal ajal vee üleslükkejõud üles, ei hakka kork ju korraga mõlemas suunas liikuma. Jõud liituvad ning nende mõjul on üks ühine tagajärg — kork püsib paigal. Samale kehale mõjuvate jõudude summat nimetatakse resultantjõuks.

Kuna jõud on suunaga suurus, ei saa neid liita niisama lihtsalt kui arve. Jõudude liitmisel tuleb järgida vektorite liitmise reegleid. Et jutt on samale kehale mõjuvate jõudude liitmisest, siis joonisele kandmisel peavad need algama kõik samast punktist. Kulgeva liikumise korral, mil pöörlemist ei toimu, kujutame keha ette lihtsustatud punktmassina.

Kõige lihtsam on leida kahe samasuunalise jõu summat. Samasuunaliste jõudude arvväärtused liituvad ning resultantjõud on liidetavate jõududega samas suunas.

Vastassuunaliste jõudude liitmisel lahutatakse suurema väärtusest väiksem ning resultantjõud jääb suurema jõu suunaliseks.

Samasihiliste jõudude liitmisel nende väärtused kas liidetakse või lahutatakse

Samal sirgel mitteasuvate jõudude liitmise lihtsaim viis on kasutada rööpküliku reeglit. Selle järgi tuleb liidetavatele jõuvektoritele üles ehitada rööpkülik ning viimase diagonaal ongi resultantjõuks.

Jõudude liitmine rööpküliku reegli järgi

Kui kehale mõjub suurem arv jõude, tuleb esmalt summeerida kaks jõudu ning tulemusele liita samm-sammult ülejäänud.

Sageli tuleb ette, et kehale mõjuvate jõudude resultant on null. Siis öeldakse, et jõud on tasakaalus ehk kompenseerivad üksteist. Näiteks laual seisvale õmblusmasinale mõjuvat Maa külgetõmmet tasakaalustab laua vastumõju, mis ei luba masinal sellest läbi kukkuda. Need kompenseerunud jõud liikumist ei mõjuta ja õmblusmasin püsib paigal.

Jõud kompenseerivad üksteist

Newtoni seadused

Newtoni esimene seadus ehk inertsiseadus

Kõik meist on kogenud, et tool nihkub põrandal edasi vaid siis, kui seda lükata. Pärast lükkamise lõppu lakkab liikumine jalgade ja põranda vahelise hõõrdumise tõttu.

Isaac Newton

Kuidas liiguvad aga kehad siis, kui neid ümbritseva poolt ei segata, kui puudub vastastikmõju teiste kehadega?

Teame, et vastastikmõju üheks tagajärjeks on liikumise muutumine. Kui vastastikmõju pole, siis ei saa muutuda ei liikumise kiirus ega ka suund. Sel juhul on tegemist ühtlase sirgjoonelise liikumisega. Kui aga keha juhtub seisma, siis jääbki see muutumatult paigale.

Mõjude puudumisega on samaväärne olukord, kus mõjud on kompenseerunud ja resultantjõud null.

Need tähelepanekud võtabki kokku Newtoni esimene seadus, mis kirjeldab keha liikumist mõjude puudumisel: Vastastikmõju puudumisel või vastastikmõjude kompenseerumisel on keha kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt.

Nähtust, kus kõik kehad püüavad oma liikumisseisundit säilitada, nimetatakse inertsiks. Seepärast nimetatakse Newtoni esimest seadust ka inertsiseaduseks.

Matemaatiliselt saab inertsiseadust väljendada järgmiselt:

\[\vec F = 0 \Rightarrow \vec a = 0\]

Newtoni teine seadus ehk dünaamika põhiseadus

Kui kehale jõude ei mõju, jääb liikumine vastavalt inertsiseadusele muutumatuks. Kuidas muutub aga liikumine siis, kui kehale mõjub jõud?

Liikumise muutumine tähendab kiiruse muutumist, mille kiiruseks on kiirendus. Järelikult põhjustab jõud kiirenduse. Millest ja kuidas kiirendus sõltub, on kindlaks tehtud katsete abil.

Kui mõjutada erinevaid kehi sama suure jõuga, võivad saadud kiirendused olla erinevad. Mõne keha kiirus kasvab aeglasemalt ja kiirendus on väiksem. Need säilitavad oma liikumisseisundit teistega võrreldes paremini ja öeldakse, et nende inertsus on suurem. Inertsus on keha omadus, mis iseloomustab võimet liikumisolekut säilitada.

Suurema inertsusega keha kiirust on raskem muuta. Näiteks on rasket veoautot määratult raskem liikuma lükata kui mänguautot. Selles pole midagi kummalist – päris autol on mänguasjaga võrreldes ju palju suurem mass.

Mass on keha inertsuse mõõt. Selle tähiseks valemites on m ja mõõtühikuks 1 kg.

Katsed näitavad, et jõu toimel tekkiv kiirendus on pöördvõrdeline keha massiga. Mida suurem mass, seda väiksema kiirenduse see jõud tekitab.

Veel näitavad katsed, et kiirendus on seda suurem, mida suurem jõud kehale mõjub. See on ka mõistetav — kui liikumise muutuse tingib vastastikmõju, siis mida tugevam on mõju, seda suurem peab olema ka selle põhjustatud muutus. Kiirendus on võrdeline jõuga.

Ülaltoodud tulemused võimaldasidki Newtonil jõuda oma mehaanika teise põhiseaduse sõnastamiseni.

Newtoni teine seadus ütleb, et kui kehale mõjub jõud, siis liigub see kiirendusega, mis on võrdeline mõjuva jõuga ning pöördvõrdeline selle keha massiga. Matemaatiliselt väljendab Newtoni II seadust valem

\[\vec a = \frac{{\vec F}}{m}\]

Kuna sel seadusel on suur tähtsus mehaanika põhiülesande lahendamisel, nimetatakse Newtoni II seadust ka dünaamika põhiseaduseks.

Kui me teame keha algkoordinaati, algkiirust, massi ja mõjuvat jõudu, saame Newtoni II seadusest leida kiirenduse ning välja kirjutada keha liikumisvõrrandi. Liikumisvõrrand lubab keha asukoha välja arvutada mistahes ajahetkel ning sellega ongi põhiülesanne lahendatud.

Newtoni kolmas seadus ehk mõju ja vastumõju seadus

Kui Newtoni I ja II seadus kirjeldavad, kuidas keha liigub välise mõju puudumisel või olemasolul, siis kolmas seadus käib vastastikmõju enda kohta. Newton ise nimetas seda seadust mõju ja vastumõju seaduseks.

Kogemused näitavad, et kehad mõjutavad teineteist alati vastastikku. Kui toetame redeli seinale, siis mõjub sein redelile vastu ja seda nii, et redel püsib paigal.

Kehad osalevad vastastikmõjus alati paarikaupa. Seejuures mõjuvad jõud mitte ainult ühele, vaid mõlemale kehale. Need kehadele mõjuvad jõud on suuruselt võrdsed ja suunalt vastupidised. Kui Maa tõmbab kukkuvat õuna jõuga 1 N, siis õun tõmbab maakera vastu täpselt sama suure jõuga.

Selles väljendubki mõju ja vastumõju ehk Newtoni kolmas seadus: Kaks keha mõjutavad teineteist võrdsete vastassuunaliste jõududega.

Newtoni III seadus

Kui eristada kahele vastastikmõjus osalevale kehale mõjuvaid jõude indeksitega 1 ja 2, saab Newtoni III seadust väljendada valemiga

\[{\vec F_1} = - {\vec F_2}\]

Tuleb meeles pidada, et Newtoni III seaduse jõud mõjuvad eri kehadele ja seepärast ei saa need teineteist tasakaalustada, kuigi on võrdsed ja vastupidised.

Keha impulss

Liikumishulk ehk impulss

Newtoni teine seadus näitab keha kiiruse muutumise sõltuvust keha massist ja sellele mõjuvast jõust. Suurema massi korral on kiiruse muutmiseks vaja kas suuremat jõudu või pikemat aega. Samas on mõju vastastikune. Keha, mille kiirus muutub, mõjub teisele kehale sama aja jooksul sama jõuga vastu ja võib muuta selle liikumist või kuju. Näeme, et liikuval kehal on võime muuta teiste kehade liikumist.

Keha võime vastastikmõju korral teist keha mõjutada sõltub selle kiirusest ja massist. Sellele teadmisele tuginedes on liikumise iseloomustamiseks võetud kasutusele suurus, mida nimetatakse keha liikumishulgaks ehk impulsiks. Impulsi tähiseks on \(\vec p\) (pulsus — ladina k. löök, impulss) ning see on defineeritud keha massi ja kiirusvektori \(\vec v\) korrutisena:

\[\vec p = m\vec v\]

Impulsi mõõtühikuks on 1 kg•m/s. Tegemist on vektoriaalse suurusega, mille suund ühtib kiirusvektori suunaga.

Impulss on vektor

Impulsi füüsikalist tähendust võib mõista näiteks põrgete vaatlemisel. Põrke mõju on seda suurem, mida suurem on keha impulss. Seepärast tuleb sadamakai ehitada väga tugev, muidu purustaks selle ka väga aeglaselt liikuv, kuid suure massiga laev. Samamoodi võib väike püssikuul tekitada suuri purustusi oma suure kiiruse tõttu. Nii laeval kui ka kuulil on ühtviisi suur impulss ning need võivad teisi kehi suure jõuga mõjutada.

Osutub, et impulss on jõuga otseselt seotud. Võtame Newtoni II seaduse (2.2) ja asendame selles kiirenduse selle definitsiooni avaldisega (1.11):

\[\vec a = \frac{{\vec F}}{m}\]

ehk

\[\frac{{\vec v - {{\vec v}_0}}}{{\Delta \,t}} = \frac{{\vec F}}{m}\]

Kui korrutame saadud võrduse mõlemad pooled keha massiga läbi, saame

\[\frac{{m\vec v - m{{\vec v}_0}}}{{\Delta \,t}} = \vec F\]

Et massi ja kiiruse korrutis kujutab endast keha impulssi, siis avaldis \(m\vec v - m{\vec v_0} = \vec p - {\vec p_0} = \Delta \,\vec p\) pole midagi muud kui impulsi muut. Seega võime kirjutada, et

\[\frac{{\Delta \,\vec p}}{{\Delta \,t}} = \vec F\]

Saime Newtoni II seadusele uue kuju, mis näitab, et impulsi muutumise kiirus on võrdne seda muutust põhjustava jõuga. Tegemist on väga olulise tulemusega, mida kasutatakse peale klassikalise dünaamika ka elementaarosakesi uurivas kvantmehhaanikas.

Liikumishulga ehk impulsi jäävuse seadus

Liikumishulgal ehk impulsil on füüsika jaoks väga oluline omadus — jäävus.

Uurime kahe keha vastastikust mõju. Newtoni III seaduse järgi mõjutavad need kehad teineteist võrdsete vastassuunaliste jõududega:

\[{\vec F_1} = - {\vec F_2}\]

Kehale mõjuv jõud on vastavalt seosele (2.7) võrdne keha impulsi muutumise kiirusega. Nii saame Newtoni III seadusele kuju:

\[\frac{{\Delta \,{{\vec p}_1}}}{{\Delta \,t}} = - \frac{{\Delta \,{{\vec p}_2}}}{{\Delta \,t}}\]

Impulsi muutumise kiirus on võrdne jõuga

Et kehad mõjutavad teineteist sama kaua, võime ajavahemikud Δt taandada ning avaldis lihtsustub:

\[\Delta \,{\vec p_1} = - \Delta \,{\vec p_2}\]

ehk

\[\Delta \,{\vec p_1} + \Delta \,{\vec p_2} = 0\]

Avaldis \(\Delta \,{\vec p_1} + \Delta \,{\vec p_2}\) kujutab endast mõlema keha impulsside muutude summat. Sisuliselt on tegemist kehade koguimpulsi \({\vec p_1} + \,{\vec p_2}\) muuduga, mida võib tähistada kui \(\Delta \,({\vec p_1} + \,{\vec p_2})\). Seda tähistust kasutades saame seosele (2.9) kuju, mis väljendabki impulsi jäävuse seadust:

\[\Delta \,({\vec p_1} + \,{\vec p_2}) = 0\]

ehk

\[\Delta \,({m_1}{\vec v_1} + {m_2}{\vec v_2}) = 0\]

Näeme, et kui kaks keha teineteist mõjutavad, siis selle käigus nende koguimpulss ei muutu (muut = 0). Saab näidata, et impulsi jäävus kehtib ka kuitahes paljudest kehadest koosneva süsteemi jaoks. Ainsaks tingimuseks on see, et süsteemi mittekuuluvate kõrvaliste kehade mõjud puuduvad.

Nii võimegi sõnastada impulsi jäävuse seaduse: Väliste mõjude puudumisel on süsteemi koguimpulss sinna kuuluvate kehade igasugusel vastastikmõjul jääv.

Seaduse rakendamisel ei tohi unustada, et impulss on suunaga suurus.

Impulsi jäävuses võib igaüks ise veenduda, kui astub kinniköitmata paadist kaldale. Enne väljaastumist on paat koos inimesega paigal ja nende koguimpulss null. Astumisel hakkab inimene kalda poole liikuma ja omab teatud impulsi. Et koguimpulss ei muutu ja jääb nulliks, saab paat vastassuunalise impulsi ning eemaldub kaldast.

Kogu teaduse ajaloo vältel pole avastatud ühtegi nähtust, mis oleks impulsi jäävusega vastuolus. See seadus on universaalne ning kehtib ka väljaspool mehaanika uurimisvaldkondi.

Impulsi jäävuse seadus on universaalne

Keskkonna takistusjõud

Kindlasti on kõik proovinud vees olles kõndida ja tähele pannud, et see nõuab üsna suurt pingutust. Vesi takistab liikumist tunduvalt rohkem kui õhk. Kuid ka õhk avaldab selles liikuvatele kehadele takistust. Ega muidu pöörata võidusõiduautode voolujoonelisemaks muutmisele nii suurt tähelepanu. Kui mõni suurem auto meist lähedalt möödub, tajume selle poolt liikuma pandud õhku tuulena.

Keha liikumine kandub keskkonnale üle

Gaasilise ja vedela keskkonna liikumahakkamine on otseselt seotud neis liikuvatele kehadele avaldatava takistusjõuga. Erinevalt tahketest kehadest on gaasid ja vedelikud voolavad, sest nende aineosakesed pääsevad liikuma. Kui näiteks vees mingi keha liigub, siis sellega kokkupuutuvad veeosakesed liiguvad kehaga kaasa ja panevad kaasa liikuma ka oma kaugemal asuvad naaberosakesed. Keha liikumine kandub veele üle. Osa keha liikumishulgast ehk impulsist antakse mingi aja jooksul keskkonnale. Vastavalt jäävusseadusele peab selle võrra keha liikumishulk vähenema.

Kui keha impulss väheneb, siis vastavalt seosele (2.7) on selle vähenemise kiirus võrdne kehale mõjuva jõuga. Antud juhul on tegemist keskkonna takistusjõuga.

Keskkonna poolt selles liikuvale kehale mõjuv takistusjõud on võrdne liikumishulga ehk impulsi ülekandumise kiirusega.

Gravitatsioonijõud

Gravitatsiooniseadus

Aastal 1638 avaldas Galilei oma raamatus Discorsi uurimustulemused, mille järgi kukuvad kõik kehad Maa külgetõmbe tõttu ühesuguse kiirendusega. Kust aga pärineb see jõud, mis kõiki kukkuvaid kehi kiirendab? Selle ja muude liikumisega seotud küsimuste kallal juurdles üsna pikalt tolleks ajaks juba mitmete optikanähtuste selgitamisega tuntuks saanud Newton.

Legendi järgi kukkunud kord murul istunud Newtonile pähe õun. See pannud mehe juurdlema, miks õun alati maha kukub ja miks see üldse kukub. Kas tõmbab ainult Maa õuna või on ka õunal selline külgetõmbejõud?

Legend Newtoni õunast

Otse üles visatud õun kukub samasse kohta tagasi. Eemale visatud õun maandub seda kaugemal, mida kiiremini seda visatakse. Kas võiks õun ümber Maa tiirlema jäädagi, kui kiirus oleks piisavalt suur? Kas Kuu tiirlemine ümber Maa polegi just selline kukkumine?

Kukkumine ja tiirlemine on sama nähtus

Kas õun toona 23-aastasele Newtonile ka tegelikult pähe kukkus, pole teada. Igal juhul on ta ise mitu korda jutustanud, et just kukkuv õun viis mõtted külgetõmbeprobleemide. Lisaks oma uurimustele üldistas teadlane ka Galilei avastatud vaba langemise seadust ning Koperniku ja Kepleri astronoomiliste vaatluste andmeid. Pingsa mõttetöö ja omaleiutatud matemaatilise analüüsi meetodi rakendamise tulemusena avastaski Newton seaduse, millele kehadevaheline külgetõmbejõud allub.

Kaks punktmassi tõmbuvad teineteise poole jõuga, mis on võrdeline nende masside korrutisega ning pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga.

Ülemaailmne gravitatsiooniseadus

Matemaatiliselt avaldub gravitatsiooniseadus valemina:

\[F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\]

Valemis tähistab F mõlemale kehale (punktmassile) võrdselt mõjuvat gravitatsioonijõudu, m₁ ja m₂ kummagi keha massi ning r nendevahelist kaugust. Tähega G tähistatud kordajat nimetatakse gravitatsioonikonstandiks.

Tegemist on universaalse seadusega. Gravitatsioonijõud mõjub kõikidele kehadele ning ulatub valgusaastate kaugusele.

Kui valemis võtta mõlema keha massiks 1 kg ja vahekauguseks 1 m, saame valemist (2.11)

\[F = G\frac{{1 \cdot 1}}{1} = G\]

Järelikult on gravitatsioonikonstant G arvuliselt võrdne jõuga, millega tõmbuvad kaks teineteisest 1 m kaugusel asuvat 1 kg massiga keha. Selle arvuline väärtus sõltub mõõtühikute valikust ning on määratav vaid eksperimentaalselt.

Maapealsete suhteliselt väikese massiga kehade vaheline tõmbumine on äärmiselt nõrk. See muudab gravitatsioonikonstandi mõõtmise keeruliseks. Esimest korda määras gravitatsioonikonstandi väärtuse täpsete pöördkaalude abil 1798. aastal inglise füüsik Henry Cavendish. Ta sai tulemuseks 6,754•10⁻¹¹ N•m²/kg², mis on üsna lähedane tuntud väärtusele 6,67428•10⁻¹¹ N•m²/kg².

Gravitatsioonikonstandi mõõtmine

Henry Cavendish

Kooliülesannete lahendamisel võetakse G väärtuseks tavaliselt

\[G = 6,7 \times {10^{ - 11}}\frac{{{\rm{N}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{k}}{{\rm{g}}^{\rm{2}}}}}\]

Näiteid gravitatsioonijõu avaldumisest

Kõik me tajume Maa külgetõmmet. Gravitatsiooniline tõmbumine ulatub meieni aga ka Kuult ja Päikeselt, põhjustades maailmamere loodeid ehk tõuse ja mõõne.

Kuu külgetõmme tekitab tõusu ja mõõna

Eriti tugevad looded esinevad siis, kui Päike ja Kuu paiknevad samal pool Maad viimasega ühel sirgel, st. kuu loomise ajal. Korraga on Maal tõus nii sellel poolel, mis asub Kuu suunas, kui ka vastasküljel. Kuna vesi saab voolata, siis koguneb see rohkem Maa Kuu-poolsele küljele ja tõstab meretaset. Väike tõus vastasküljes on tingitud aga Maa pöörlemisest. Pöörlemisel tekivad inertsijõud, mis püüavad kõike pöörlemisteljest eemale paisata. Kuust kaugeimas punktis avaldub see kõige märgatavamalt, kuna seal on Maa kaaslase külgetõmme kõige nõrgem.

Gravitatsioon reguleerib taevakehade liikumist, hoiab koos väikeseid ja suuri tähesüsteeme ning on osaline tähtede arengus sünnist kustumiseni. See mõjub isegi valgusele ning moonutab kaugete objektide kujutisi teleskoobis. Ilma gravitatsioonijõuta poleks galaktikaid, musti auke, Päikest, Maad ega ka meid.

Täht tekib gaasipilve kokkutõmbumisel

Raske ja inertne mass

Gravitatsioonijõud sõltub seaduse (2.11) põhjal keha massist. Massist sõltub Newtoni II seaduse (2.2) järgi ka kiirendus, mille keha vastastikmõju tagajärjel saab. Newton defineeris massi kui keha inertsuse mõõdu ja sellele tuginedes saab massi määrata jõu poolt kehale antava kiirenduse kaudu. Tavaliselt leitakse mass aga hoopis kaalumise ehk kehale mõjuva gravitatsioonijõu mõõtmise teel. Kas niiviisi kahel erineval viisil leitud massid on ikka samad? Kehadel on raskus ja seega mass ka siis, kui nende liikumine ei muutu. Gravitatsioon ja inerts pole omavahel ühelgi viisil seotud. Kas see tähendab, et kehadel ongi kaks põhimõtteliselt erinevat massi — raske ja inertne?

Raskuse ja inertsuse küsimuste kallal töötas omal ajal juba Galileo Galilei ning püüdis vastuseni jõuda mõtteliste eksperimentide teel. Ka Newton pidas kahe massi samaväärsuse küsimust väga oluliseks ning tegi mitmeid praktilisi mõõtmisi.

Tänapäevaks on füüsikud läbi paljude katsete jõudnud arusaamisele, et inertse massi ja raske massi samaväärsus on klassikalises mehhaanikas mõõtmistele tuginev kogemuslik tõsiasi, millel puudub teoreetiline põhjendus. Oletus nende masside võrdsusest on Einsteini üldrelatiivsusteooria aluseks.

Raske ja inertne mass on olemuselt erinevad, kuid suuruselt samaväärsed

Raskusjõud ja keha kaal

Raskusjõud

Meie jaoks on eriline muidugi see gravitatsioonijõud, millega Maa tõmbab kõiki seda ümbritsevaid kehi. Tänu sellele jõule kukuvad kõik kehad alla Maa keskpunkti poole ja on tõstmisel rasked. Tegemist on meile tuttava raskusjõuga. Raskusjõud pole iseloomulik mitte ainult Maale, vaid ilmneb tugevamalt või nõrgemalt kõikidel taevakehadel. Raskusjõuks nimetatakse gravitatsioonijõudu, millega Maa või mistahes muu taevakeha tõmbab enda poole selle lähedal asuvaid kehi.

Raskusjõud on gravitatsioonijõud

Raskusjõu saame leida gravitatsiooniseadusest (2.11). Võttes ühe keha massiks Maa massi M ning vahekauguseks Maa raadiuse R, tuleb maapinnal asuvale kehale massiga m mõjuvaks raskusjõuks

\[F = G\frac{{Mm}}{{{R^2}}}\]

Kui suure kiirenduse see jõud kehale annab? Kasutame Newtoni II seadust (2.2):

\[a = \frac{F}{m} = G\frac{{Mm}}{{{R^2}m}} = G\frac{M}{{{R^2}}}\]

ehk

\[a = G\frac{M}{{{R^2}}}\]

Et Maa mass on 5,98•10²⁴ kg ja raadius 6370 km = 6,37•10⁶ m, annavad arvutused

\[a = 6,67 \cdot {10^{ - 11}} \cdot \frac{{5,98 \cdot {{10}^{24}}}}{{{{(6,37 \cdot {{10}^6})}^2}}} = 9,83 \approx 9,8\left( {\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}} \right)\]

See kiirenduse väärtus on meile tuttav kui vaba langemise kiirendus. Vaba langemise kiirendust nimetatakse veel ka raskus- ja gravitatsioonikiirenduseks. Viimasest ongi tulnud tähis g.

Teades nüüd, et vabalt langeva keha kiirendus on \(\vec g\), saame Newtoni II seadusest seda kiirendust tekitava jõu ehk raskusjõu arvutamiseks lihtsa valemi:

\[\vec F = m\vec g\]

See raskusjõud on suunatud Maa keskpunkti ega ole seepärast Maakera kõigis punktides samasuunaline.

Raskusjõud F = mg

Kõrguse kasvades raskuskiirendus väheneb, sest valemis (2.15) tuleb Maa raadiusele liita ka kõrgus maapinnast h:

\[g = G\frac{M}{{{{(R + h)}^2}}}\]

Raskusjõud sõltub kõrgusest

Kuna raskuskiirenduse vähenemine muutub märgatavaks alles 100 km kõrgusel, mida loetakse kokkuleppeliselt kosmose piiriks, siis on tavaelus mugavam kasutada nn lapiku Maa mudelit (midagi antiikaegse ettekujutuse sarnast). Selle mudeli puhul mõjub kõikidele Maa-lähedastele kehadele vertikaalselt alla suunatud raskusjõud, mis kõrgusest ei sõltu.

Kaal ja kaalutus. Toereaktsioon

Tänu gravitatsioonile mõjutab keha oma alust või mistahes muud keha, mis takistab selle liikumist Maa keskpunkti poole. Seda jõudu, millega keha Maa külgetõmbe tõttu mõjub alusele, keskkonnale või riputusvahendile, nimetatakse keha kaaluks. Kaalu tähiseks valemites on \(\vec P\) ning mõõtühikuks 1 N (mitte igapäevasele kõnepruugile vastavalt 1 kg, kuna tegemist pole massiga!).

Kaal on jõud, millega keha mõjutab alust või riputusvahendit

Kui alus või riputusvahend on Maa suhtes paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt nii, et inerts liikumise muutumist takistama ei hakka, on keha kaal võrdne raskusjõuga. Kui alus liigub aga kiirendusega, siis kaal enam raskusjõuga võrdne pole.

Kui alus liigub kiirendusega üles, peab see kehale kiirenduse andmiseks rakendama lisajõudu, mis vastavalt Newtoni II seadusele on F = ma. Kaal on sel juhul raskusjõust suurem ja öeldakse, et tegemist on ülekoormusega:

\[P = mg + ma = m(g + a)\]

Kiirendusega alla liikumisel on vastupidi, kaal jääb inertsi tõttu raskusjõust väiksemaks ning tegemist on alakoormusega:

\[P = m(g - a)\]

Kaalu sõltuvust kiirendusest võime tajuda liftis. Tõusu alguses tunneme ülekoormust ja lõpus alakoormust.

Ülaltoodut arvestades saab kaalu seost kiirendusega väljendada ühe kokkuvõtva valemiga:

\[P = m(g \pm a)\]

Kui aga alus või riputusvahend üldse eemaldada, siis kaob ka keha mõju sellele. Kui pole mõju alusele või riputusvahendile, ei saa olla ka kaalu ning tegemist on kaalutuse ehk kaaluta olekuga. Kõik vabalt langevad kehad on kaaluta olekus.

Vabalt langevad kehad on kaaluta olekus

Kaalu ja raskusjõudu ei tohi samastada, sest need jõud mõjuvad eri kehadele. Keha kaal mõjub alusele või riputusvahendile ja on olemuselt elastsusjõud. Raskusjõud on olemuselt gravitatsioonijõud, mis mõjub kehale endale. Need on täiesti erinevad jõud.

Rõhumisjõud, rõhk ja toereaktsioon

Keha võib teisi kehi mõjutada lisaks kaalule veel muudki liiki jõududega. Arvuti taga istuv õpilane toetub seljatoele, õhupalli puhutav õhk paneb selle paisuma, press surub korgitüki õhemaks, magnet hoiab nõela ... Mõjutatava keha jaoks pole seejuures oluline, mis liiki see jõud on. Tähtis on vaid jõu ja sageli ka mõjupinna suurus.

Et kõiki võimalikke mõjusid saaks kirjeldada ühtse mudeli abil, on võetud kasutusele rõhumisjõu mõiste. Rõhumisjõuks nimetatakse jõudu, millega üks keha mõjutab teist risti kokkupuutepinnaga. Rõhumisjõu tähisena kasutatakse jõu üldtähist \(\vec F\). Rõhumisjõud mõjub alati pinnaga risti.

Ühe keha mõju teisele risti kokkupuutepinnaga on rõhumisjõud

Vastavalt Newtoni III seadusele tekib keha mõjutamisel alati vastumõju ehk reaktsioon. Tegemist on jõuga, mida nimetatakse toereaktsiooniks. Rõhumisjõu toimel keha kuju muutub (keha deformeerub) ja see põhjustab vastassuunas mõjuva elastsusjõu, mis ongi toereaktsioon. Toereaktsiooniks nimetatakse rõhuvale kehale toetuspinnaga risti mõjuvat vastujõudu.

Kuna toereaktsioon on alati suunatud piki pinna ristsirget ehk normaali, on selle tähiseks valemites ja joonistel \(\vec N\). Rõhumisjõud ja toereaktsioon on alati võrdsed ja vastassuunalised:

\[\vec N = - \vec F\]

Rõhumisjõud ja toereaktsioon on võrdsed ning vastassuunalised

Kui teineteist mõjutavaid kehi ei või ette kujutada punktmassidena, kuna nende kuju on oluline, mõjub rõhumisjõud mingile konkreetse suurusega pinnale. Rõhumisjõu tagajärg sõltub selle pinna suurusest. Kui pind on suur, hajub jõud üle selle laiali ning mõju kindla suurusega pinnatükile jääb väiksemaks. Arvestamaks rõhumisjõu jaotumist mõjupinnale kasutatakse rõhu mõistet. Rõhuks nimetatakse füüsikalist suurust, mis on võrdne rõhumisjõu F ja pindala S jagatisega. Rõhu tähiseks on p (pressûra — ladina k. rõhk)

\[p = \frac{F}{S}\]. (2.21)

Rõhk on rõhumisjõu ja pindala jagatis

Rõhu mõõtühikuks on 1 paskal — 1 Pa = 1 N/m². Ühik on nime saanud prantsuse füüsiku Blaise Pascali järgi.

Erinevalt jõust ei ole rõhk vektoriaalne suurus. Põhjus on selles, et rõhu leidmisel arvestatakse vaid pinnaga risti olevat jõudu. Näiteks gaasides ja vedelikes ei saagi me suunast üldse rääkida, kuna rõhk antakse edasi kõikides suundades ühtemoodi.

Hõõrdejõud

Seisu- ja liugehõõrdumine

Inimene suudab lükata jõuga 500 N. Oletame, et ta lükkab veoautot massiga 5000 kg. Selline jõud peaks veokile andma kiirenduse 0,1 m/s2 ja 10 sekundiga läbiks see 5 m ja saavutaks kiiruse 5 m/s. Ometi ei jaksa ükski mees viietonnist autot paigalt lükata. Miks?

Siin tuleb mängu uus jõuliik — hõõrdejõud. Hõõrdejõud on väga oluline, kuna mõjub maapealsetes tingimustes kõikidele liikuvatele kehadele. Iga liikuv keha jääb hõõrdejõu tõttu lõpuks seisma, kui mingi muu jõud hõõrdumist ei kompenseeri. Hõõrdejõu vähendamise vajadusega on kokku puutunud kõik suusatajad, seevastu teemeistrid näevad vaeva, et talvistel teedel hõõrdumist suurendada. Hõõrdejõuga seonduva tundmine on eluliselt tähtis.

Hõõrdejõud mõjub mitte ainult liikuvatele vaid ka paigalseisvatele kehadele. Näiteks püsib veeklaas käes ja nael seinas just tänu hõõrdejõule.

Hõõrdejõud mõjub liikuvatele ja seisvatele kehadele

Hõõrdejõuks nimetatakse jõudu, mis takistab keha liikumist või liikumahakkamist. Et jõud takistab liikumist, nimetatakse seda vahel ka takistusjõuks. Hõõrdejõud tekib alati kehade vahetul kokkupuutel, mõjub piki kokkupuutepinda ja on suunatud vastupidi liikumisele. Seejuures on kaks võimalust.

Esiteks on võimalus, et mingi jõud püüab keha liikuma panna, kuid hõõrdumise tõttu jääb keha paigale. Nähtust, kus hõõrdejõu tõttu püsib keha paigal, nimetatakse seisuhõõrdumiseks. Seisuhõõrdejõud on alati suuruselt võrdne ja vastassuunaline jõuga, mis püüab keha liikuma panna.

Seisuhõõrdumine

Kui inimene kõnnib, siis on edasiviivaks jõuks hõõrdejõud. Et tald teekatte suhtes ei liigu, on siin tegemist just seisuhõõrdumisega. Ka see jõud, mis annab rihmülekande korral liikumise ühelt rattalt teisele üle, on seisuhõõrdejõud rihmarataste ja rihma vahel.

Teiseks on olukord, kus keha liigub ning libiseb mööda teise keha pinda. Nähtust, kus hõõrdumine takistab mööda teise keha pinda libiseva keha liikumist, nimetatakse liugehõõrdumiseks. Liugehõõrdumise korral on hõõrdejõud suunatud alati liikumisele vastassuunas.

Liugehõõrdumine

Jõu suurus sõltub kokkupuutuvate pindade omadustest ning pindu kokku suruva jõu suurusest. Vastu mingit pinda surumisel mõjub kehale rõhumisjõuga võrdne vastassuunaline toereaktsioon N. Mõõtmised näitavad, et liugehõõrdejõud on võrdeline kehale mõjuva toereaktsiooniga:

\[{F_h} = \mu N\]

Võrdetegurit μ (kreeka täht müü) selles valemis nimetatakse hõõrdeteguriks. Sageli, kui keha libiseb mööda horisontaalset pinda, on toereaktsioon arvuliselt võrdne kehale mõjuva raskusjõuga ja sel juhul

\[{F_h} = \mu \,mg\]

Hõõrdetegur

Avaldame hõõrdejõu valemist (2.22) hõõrdeteguri:

\[\mu = \frac{{{F_h}}}{N}\]

Näeme, et hõõrdetegur on võrdne hõõrdejõu ja toereaktsiooni suhtega.

Hõõrdetegur ei iseloomusta mitte keha, millele hõõrdejõud mõjub, vaid libisevaid pindu. See sõltub kokkupuutuvate kehade materjalist, pindade töötlusest ja puhtusest. Samas ei sõltu hõõrdetegur kokkupuutepinna suurusest ega libisemise kiirusest, kui surve ja kiirus pole väga suured.

Hõõrdumist põhjustavad pinnakonarused

Hõõrdeteguri suurust saab määrata katseliselt. Siledate pindade vahelised hõõrdetegurid mõnede materjalide jaoks on esitatud järgnevas tabelis.

	Betoon Asfalt	Klaas	Teflon	Paber	Puit	Jää, Lumi	Kumm	Metall	Õlitatud metall
Klaas	0,22	0,65
Teflon	0,18	0,11	0,04
Paber	0,49	0,32	0,19	0,32
Puit	0,65	0,33	0,20	0,30	0,25	0,07
Kumm	0,85	0,71	0,26	0,62	0,65	0,05	0,75
Metall	0,40	0,65	0,05	0,22	0,45	0,02	0,58	0,27	0,07

Hõõrdejõu muutmine

Hõõrdejõud võib olla nii kasulik kui ka kahjulik. Kui on vaja keha paigal hoida või pidurdada, peab hõõrdejõud olema võimalikult suur. Liikumist segavat hõõrdumist tuleb aga vähendada.

Et osata hõõrdumist muuta, on vaja teada, miks hõõrdumine üldse tekib. Hõõrdumisel on kaks peamist põhjust.

Esiteks põhjustab hõõrdumist pindade ebatasasus. Pinnakonarused jäävad üksteise taha kinni ja takistavad libisemist.

Teiseks põhjuseks on aineosakeste vahelised tõmbejõud. Väga siledad pinnad pääsevad teineteisele sedavõrd lähedale, et molekulidevahelised jõud kasvavad märgatavaks. Nii kleepuvad kokku kaks siledat plii- või klaasplaati.

Hõõrdejõu vähendamiseks kasutatakse määrimist. Määre tungib kokkupuutuvate pindade vahele ja surub need teineteisest eemale. Pinnakonarused ja molekulide tõmbejõud siis enam nii tugevasti mõjule ei pääse. Määrdena kasutatakse tavalisilt õlisid. Õlikihtide omavaheline liikumine tekitab küll teatavat takistust, kuid see on tavalisest hõõrdumisest tunduvalt väiksem.

Hõõrdumist vähendatakse määrimisega

Hõõrdumist saab suurendada pindade karestamise abil. Et tagada ohutut liiklemist pinnatakse maanteed peene killustikuga ja liikluseeskiri nõuab piisavalt sügava mustriga autokummide kasutamist.

Suurema hõõrdumise saavutamiseks kasutatakse ka spetsiaalseid materjale, mis tagavad suurema hõõrdeteguri. Nii valmistatakse autode piduriklotsid vähekuluvast kuumakindlast ainest, mille hõõrdetegur kokkupuutel terasega ulatub väärtuseni 0,7.

Elastsusjõud

Deformatsioon

Teame, et vastastikmõju üheks võimalikuks tagajärjeks on kuju muutumine. Keha kuju muutumist nimetatakse deformeerumiseks ning selle tagajärjel tekkivat kujumuutust deformatsiooniks (de- + fôrma — ladina k. ära, vastupidi + kuju).

Deformatsioon on kujumuutus

Deformeerumine võib olla kas pöörduv või pöördumatu protsess. Kui keha pärast deformeeriva mõju lõppemist taastab oma esialgse kuju kas täielikult või osaliselt, on tegemist elastse deformatsiooniga. Absoluutselt elastse deformatsiooni korral taastab endine kuju täielikult. Kui pärast surve lõppu säilub deformeerimisel saadud kuju, on tegemist plastse deformatsiooniga.

Elastne ja plastne deformatsioon

Keha elastsus või plastsus sõltub selle materjalist ja kujust. Väga elastsed on näiteks terasvedru ja kumminöör ning plastsed pehme savi ja plastiliin. Paljude kehade korral on väikene deformatsioon elastne, kuid suure kujumuutuse järel nende kuju enam ei taastu. Niimoodi käitub näiteks alumiinium- või vasktraat.

Kui keha aga juba väga väikese deformatsiooni tagajärjel puruneb, siis öeldakse, et see on habras.

Keha kuju võib muutuda mitmel viisil. Näiteks saame kummipaela venitada, puuoksa painutada ja švammi kokku suruda. Selle põhjal, kuidas kuju muutub, eristatakse viit liiki deformatsioone: tõmme, surve, paine, vääne ja nihe.

Deformatsiooni liigid

Sageli ei pane me kehade kuju muutumist tähele, sest deformatsioon on väike. Kui keegi ronib näiteks suure kivirahnu otsa, siis ei suuda selle lamedamaksvajumist keegi ka luubiga vaadates märgata.

Elastsusjõud

Kevadel on õunapuuoks täis õhkkergeid õisi. Siis hakkavad õitest õunad arenema ja viljad paisuvad ning muutuvad aina raskemaks. Kuidas need oksa küljes püsivad? Koos raskusjõu kasvamisega peab suurenema ka jõud, mis õunal kukkuda ei lase. Kust on see jõud pärit ja milline on selle olemus?

Jälgides oksa juures toimunud muutusi, võib näha, et oks on paindunud. Oksa deformatsioon ongi uue jõu tekkimise põhjuseks. Jõudu, mis tekib keha kuju muutmisel ehk deformeerimisel, nimetatakse elastsusjõuks.

Kuju muutmisel tekib elastsusjõud

Elastsusjõud on deformatsiooniga alati vastas-suunaline. Elastsusjõud püüab keha esialgset kuju taastada. Absoluutselt plastse deformatsiooni korral mingit kuju taastumist aset ei leia ja järelikult puudub seda põhjustav jõud, st elastsusjõud on null.

Elastsusjõudude tekkepõhjuseks on aineosakeste vaheline vastastikmõju. Osakeste vahel esineb nii tõmbumine kui ka tõukumine, kusjuures mõlema tugevus sõltub vahekaugusest. Tavalises deformeerimata olekus on need jõud tasakaalus.

Elastsusjõud on deformatsiooniga vastassuunaline

Kokkusurumisel osakeste vahekaugused vähenevad ning ülekaalu saavutavad tõukejõud, mis takistavad deformeerimist. Tõmbedeformatsioonil seevastu vahekaugused kasvavad ja ülekaalu jäävad venitamist takistavad tõmbejõud.

Elastsusjõudu võib kohata kõikjal ümberringi. Seda kasutatakse näiteks vibunoole lendulaskmisel, kellamehhanismis, juuste korrastamisel (juuksekumm), ukse sulguris, dokumentide kooshoidmisel (kirjaklamber) jm. Elastsusjõuga on seotud kõik põrked. Elastsel põrkel taastab elastsusjõud põrandaga kokkupuutel deformeerunud palli kuju ja tõukab sellega palli vastassuunas liikuma. Plastse põrke korral jäävad kehad kokku ja liikumine muutub vähem.

Hooke'i seadus

Mõõtmised näitavad, et suhteliselt väikeste deformatsioonide korral tekkiv elastsusjõud on võrdeline kujumuutuse ehk deformatsiooni suurusega. Kujumuutust on kõige lihtsam mõõta tõmbe ja surve korral. Siis iseloomustab deformatsiooni alg- ja lõpp-pikkuse vahe ehk pikenemine, mida valemites tähistatakse sümboliga Δl. Elastsusjõu sõltuvust pikenemisest kirjeldab valem (2.25). Selle seaduspärasuse avastas 1660. aastal inglise füüsik ja loodusteadlane Robert Hooke.

Robert Hooke

Elastsusjõud on võrdeline pikenemisega

Tänapäeval tuntakse seda seost Hooke’i seaduse nime all. Miinusmärk viitab asjaolule, et elastsusjõud on suunatud alati deformatsiooni suunale vastupidiselt. Võrdetegurit k nimetatakse deformeeritud keha jäikusteguriks ehk lihtsalt jäikuseks. Jäikustegur sõltub keha materjalist, mõõtmetest ja kujust ning selle mõõtühik on 1 N/m.

Hooke’i seadus kehtib vaid keha mõõtmetega võrreldes väikeste kujumuutuste korral, mil deformatsioon jääb absoluutselt elastseks. Suuremad deformatsioonid põhjustavad keha sisemises ehituses pöördumatuid muutusi ja seetõttu muutub ka esialgset kuju taastav elastsusjõud.

Ühtlane ringjooneline liikumine

Ringliikumine

Ringliikumine on kõverjoonelise liikumise erijuht, kus keha punktide trajektooriks on ringjoon või selle osa. Tegemist on lihtsaima kõverjoonelise liikumisega, mille seadusi tundes on võimalik kirjeldada ka keerulisemaid liikumisi. Saab ju erinevate ring- ja sirgjooneliste lõikude kombineerimisel kokku panna mistahes kujuga trajektoore.

Kõverjooneline liikumine on liikumine mööda ringjoone kaari

Ringliikumise puhul võime rääkida eraldi ringjoonelisest liikumisest ja pöörlemisest.

Kui turist sõidab vaaterattal, siis liiguvad kõik tema punktid mööda ühesuguseid ringjoonekujulisi trajektoore ja tegemist on ringjoonelise liikumisega. Ringjooneliseks liikumiseks nimetatakse keha liikumist mööda ringjoonekujulist trajektoori.

Ringjoonelist liikumist nimetatakse tihti ka tiirlemiseks. Ringjoonelisest liikumisest ehk tiirlemisest saame rääkida siis, kui keha mõõtmed ja kuju pole liikumise kirjeldamisel olulised ning me võime kasutada punktmassi mudelit.

Tiirlemine

Ringjooneliselt liiguvad näiteks autod kurvis, kellaosuti tipp, karussellil istuv laps ning ümber Maa tiirlev Kuu.

Ringjooneliselt liikuvate kehade trajektoorideks on erineva raadiusega ringjooned. Ringjoone raadius määrab ära trajektoori kõveruse ja on seega ringjoonelist liikumist iseloomustavaks suuruseks. Valemites ja joonistel tähistatakse trajektoori kõverusraadiust tähtedega r või R ja selle mõõtühikuks on 1 meeter.

Trajektoori iseloomustab raadius

Tihti tuleb ette aga ringliikumist, kus keha punktide trajektoorideks on erinevad ringjooned ning seepärast ei saa keha punktmassiks lugeda. Kui keha erinevad punktid tiirlevad sama keskpunkti ümber mööda erinevate raadiustega ringjooni, on tegemist pöördliikumise ehk pöörlemisega. Pöörlevalt liiguvad näiteks autoratas, grammofoniplaat, avatav uks, saltot sooritav akrobaat ja Maa ümber oma kujuteldava telje.

Teepikkus ja pöördenurk

Liikumisel toimuvat asukohamuutust iseloomustatakse nihke või teepikkuse abil. Ringliikumise kirjeldamiseks nihe ei sobi, kuna samu punkte läbitakse korduvalt. Küll aga saab kasutada läbitud teepikkust l. Ringjoonelisel liikumisel kujutab teepikkus l endast keha poolt läbitud ringjoone kaare pikkust.

Teepikkus on võrdne kaare pikkusega

Kui tegemist on pöörlemisega, liiguvad keha erinevad punktid mööda erineva raadiusega ringjooni ning nende jaoks on läbitavad teepikkused erinevad.

Igale ringjoone kaarele vastab alati kindel kesknurk. Just selle nurga võrra pöördub liikumise käigus raadius, mis ühendab trajektoori keskpunkti keha asukohaga. Nurka, mille võrra pöördub ringliikumisel keha asukohta ja trajektoori kõveruskeskpunkti ühendav raadius, nimetatakse pöördenurgaks. Pöördenurga tähiseks on kreeka täht φ (fii).

Pöördenurk

Kui pöörlemise korral läbivad pöörlemisteljest eri kaugusel asuvad punktid sama ajaga erinevad teepikkused, siis on pöördenurk nende punktide jaoks ikka ühesugune. Seepärast eelistataksegi ringliikumise kirjeldamisel teepikkusele pöördenurka.

Pöördenurk on kõikidel punktidel sama

Füüsikas mõõdetakse pöördenurka mitte kraadides vaid radiaanides. Üks radiaan (lüh. rad) on selline kesknurk, mis toetub kaarele, mille pikkus on võrdne selle ringjoone raadiusega. Ühele täisringile vastab pöördenurk 2π rad, seega 1 rad = 360º/2π ≈ 57º.

Nurgaühik 1 radiaan

Kasutades selliselt defineeritud nurgaühikut, kehtib pöördenurga ja kaarepikkuse vahel lihtne seos:

\[T = \frac{t}{N}\]

Kui keha sooritab mistahes võrdsetes ajavahemikes võrdsed pöördenurgad, on tegemist ühtlase ringliikumisega. Nii nagu ühtlane sirgjooneline liikumine, on ka ühtlane ringliikumine üks liikumise füüsikaline mudel. Looduses ideaalsel kujul sellist liikumist ei esine, kuid paljudel juhtudel saab seda mudelit rakendada suure täpsusega.

Periood ja sagedus

Ringliikumine on perioodiline liikumine, kuna keha asukoht kordub võrdsete ajavahemike möödumisel. Perioodilisi liikumisi saab iseloomustada perioodi ja sageduse abil.

Ringliikumise perioodiks nimetatakse ajavahemikku, mille jooksul läbitakse üks täisring. Kella minutiosuti tiirlemisperiood on üks tund, Maa tiirlemisperiood ümber Päikese aga üks aasta. Perioodi mõõdetakse alati ajaühikutes ja SI-s on mõõtühikuks seega 1 sekund. Perioodi tähiseks valemites on T.

Kui tähistame tiirleva keha poolt aja t kestel sooritatud tiirude arvu tähega N, avaldub ühe tiiru sooritamise aeg ehk periood koguaja ja tiirude arvu jagatisena

\[T = \frac{t}{N}\]

Sageduseks nimetatakse ajaühikus tehtavate täisringide arvu. Sageduse tähiseks on f (frequçns — lad k. sagedane, korduv). Sageduse leidmiseks tuleb ringide arv N jagada ajaühikute arvuga ehk ajaga t:

\[f = \frac{N}{t}\]

Võrreldes valemeid (2.26) ja (2.27) näeme, et ringliikumise sagedus ja periood on teineteise pöördväärtused:

\[f = \frac{1}{T}\]

Nii on ka sageduse mõõtühikuks sekundi pöördväärtus, mida nimetatakse hertsiks (Hz). 1Hz = 1/s.

Ühtlase ringliikumise kiirus ja kiirendus

Joonkiirus

Liikuval kehal on alati mingi kiirus. Ühtlase liikumise kiirus on võrdne teepikkuse ja selle läbimiseks kuluva aja jagatisega:

\[v = \frac{l}{t}\]

Ühtlasel ringjoonelisel liikumisel nimetatakse teepikkuse (läbitud joone pikkuse) ning aja jagatist mitte lihtsalt kiiruseks vaid joonkiiruseks. Nimetuse täpsustus on tingitud sellest, et ringliikumist saab lisaks joonkiirusele iseloomustada ka ajaühikus sooritatava pöördenurga kaudu.

Valem (2.30) võimaldab leida vaid kiiruse arvväärtuse. Joonkiirus on suunatud alati piki ringjoonelise trajektoori puutujat ja on igas punktis trajektoori kõverusraadiusega risti.

Joonkiirus on suunatud piki trajektoori puutujat

Joonkiirusega saab iseloomustada mitte ainult ringjoonelist, vaid ka mistahes muu kujuga trajektoori mööda toimuvat kõverjoonelist liikumist.

Joonkiirus kirjeldab igasugust liikumist

Nurkkiirus

Kuna pöörlemise korral läbivad teljest eri kaugusel asuvad punktid sama ajaga erinevad teepikkused, siis on ka nende punktide joonkiirused erinevad. Mida suurem on punkti tiirlemisraadius, seda suurem on ka kiirus. Kuna aga kõikide punktide jaoks jääb pöördenurk alati samaks, on otstarbekas ringliikumise kirjeldamiseks defineeridagi kiirus just nurga kaudu.

Seepärast kasutataksegi ringliikumise iseloomustamiseks pöördenurga ja selle sooritamiseks kuluva ajavahemiku jagatist. Seda jagatist nimetatakse ringliikumise nurkkiiruseks. Nurkkiirus on võrdne ajaühikus sooritatava pöördenurgaga. Seda suurust tähistatakse kreeka tähega ω (omega) ja valemiks on:

\[\omega = \frac{\varphi }{t}\]

Kui pöördenurka mõõdetakse radiaanides ja aega sekundites, on nurkkiiruse mõõtühikuks radiaan sekundis (1 rad/s).

Nurkkiirus on seotud joonkiirusega v. Paneme nurkkiiruse avaldisse (2.31) pöördenurga kohale selle väärtuse φ = l/r, saame

\[\omega = \frac{\varphi }{t} = \frac{l}{{tr}}\]

Et aga l/t kujutab endast joonkiirust v, saame

\[\omega = \frac{v}{r}\]

See ongi seos nurkkiiruse ja joonkiiruse vahel.

Peale joonkiiruse on nurkkiirus seotud ka ringliikumise sageduse ja perioodiga. Definitsiooni järgi on sagedus võrdne ajaühikus sooritatavate täisringide arvuga:

\[f = \frac{N}{t}\]

Aja t jooksul sooritatud täisringide arv on siis N = ft. Et igale täisringile vastab pöördenurk 2π rad, siis saame, et

\[\varphi = 2\pi ft\]

millest vastavalt nurkkiiruse definitsioonile ω = φ/t saame sagedusega seose valemiks

\[\omega = 2\pi f\]

Näeme, et nurkkiirus on võrdeline sagedusega. Seepärast nimetatakse seda suurust mõnikord ka nurksageduseks või ringsageduseks.

Teades, et periood ja sagedus on teineteise pöördarvud, on lihtne näha, et nurkkiirus sõltub ringliikumise perioodist pöördvõrdeliselt:

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]

Kesktõmbekiirendus

Sirgjoonelisel liikumisel on keha kiirus suunatud piki trajektoori. Seevastu ringliikumisel kiiruse suund muutub pidevalt. Kui trajektoor pole sirge, on kiirus trajektoori erinevates punktides suunatud erinevalt, kuid alati piki trajektoori puutujat (so. mööda sirget, mis on antud punktis raadiusega risti).

Ringliikumisel muutub liikumise suund pidevalt. Kui kiiruse suund muutub, siis muutub järelikult ka kiirusvektor (kiirus on vektoriaalne suurus). Kui aga kiirusvektor muutub, on olemas ka kiirendus. Kiirendus on ju kiirusvektori muudu ja muutuseks kulunud ajavahemiku jagatis:

\[\vec a = \frac{{\Delta \,\vec v}}{{\Delta \,t}} = \frac{{\vec v - {{\vec v}_0}}}{t}\]

Tuleb välja, et ringliikumisel esineb kiirendus ka siis, kui kiiruse arvväärtus ei muutu. Kiirendus on ka ühtlasel ringliikumisel, kuna liikumise suund muutub.

Kuhu on see kiirendus suunatud? Vaatame lühikest ajavahemikku, mille kestel sooritatud pöördenurk on väike. Et ringjoonelise liikumise joonkiirus on suunatud alati raadiusega risti, pöördub ka kiirusvektor sama nurga võrra. Joonisel tähistab kiirust enne pööret vektor \(\vec {v_0}\) ja pärast pöörde sooritamist \(\vec v\). Kuna kiiruse arvväärtus ei muutu, on ühtlasel ringliikumisel nende vektorite pikkused võrdsed.

Kiirenduse leidmiseks tuleb leida kiiruse muutus ehk kiirusvektorite vahe \(\vec v-\vec {v_0}\). Vektori \(\vec {v_0}\) lahutamine on samaväärne vastandvektori \(-\vec {v_0}\) liitmisega. Jooniselt on näha, et väikese pöördenurga korral on kiiruse muut \(\vec v-\vec {v_0}\) suunatud piki raadiust trajektoori kõveruskeskpunkti poole. Ringliikumise kiirendus kui kiiruse muutumise kiirus on suunatud samuti kõveruskeskpunkti.

Kiiruse muut ja kiirendus on suunatud kõveruse keskpunkti

Suunamuutusest tingitud kiirendus on suunatud alati keha trajektoori kõveruskeskpunkti poole ja on seega kiirusvektoriga risti. Seepärast nimetatakse seda kiirendust kesktõmbekiirenduseks.

Kesktõmbekiirendus on kiirusega risti

Kesktõmbekiirenduse väärtus sõltub nii trajektoori kõverusraadiusest r kui ka joonkiirusest v. On ju loomulik, et mida kiiremini keha mööda ringjoont liigub, seda kiiremini muutub ka liikumissuund. Samuti muutub suund seda kiiremini, mida kõveram on trajektoor.

Kesktõmbekiirendus sõltub liikumise joonkiirusest ja trajektoori kõverusraadiusest järgmiselt:

\[a = {\omega ^2}r\]

Kasutades valemit (2.33) seoses nurk- ja joonkiiruse vahel, saame kesktõmbekiirenduse avaldada ka nurkkiiruse kaudu:

\[F = ma = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\]

Ringliikumise dünaamika

Jõud ühtlasel ringliikumisel

Ühtlasel ringliikumisel esineb alati kesktõmbekiirendus. Newtoni II seaduse järgi liigub keha kiirendusega vaid siis, kui sellele mõjub jõud. Ka kesktõmbekiirenduse tekitamiseks on vajalik jõud. See jõud peab mõjuma samas suunas kiirendusega ja on järelikult suunatud trajektoori kõveruskeskpunkti poole.

Kui sellist jõudu kehale ei mõju, ei saa olla ka ringliikumist. Newtoni I seaduse järgi liiguvad ju kõik kehad, millele jõudusid ei mõju, inertsi tõttu ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Keha liigub mööda ringjoont vaid siis, kui seda otsesuunast pidevalt kõrvale kallutatakse. Ringliikumine toimub kesktõmbejõu ja inertsi koosmõju tagajärjena. Trajektoori kõveruskeskpunkti suunatud jõudu, mis põhjustab ringliikumist, nimetatakse kesktõmbejõuks ehk tsentripetaaljõuks (centrum + petere — ladina k. kese + ründama).

Ringliikumise tekitab kesktõmbejõud

Kesktõmbejõuks võib olla mistahes liiki jõud. Autot hoiab ringteelt välja libisemast hõõrdejõud, sidesatelliiti hoiab ümber Maa tiirlemas gravitatsioonijõud, vasar liigub heitmiseelse hoovõtu ajal ringjooneliselt trossis tekkiva elastsusjõu mõjul.

Kesktõmbejõu saab leida Newtoni II seadust kasutades kesktõmbekiirenduse kaudu:

\[F = ma = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\]

Kõik, kes on sõitnud mööda ringjoont kiiresti pöörleval karussellil või järsult kurvi võtvas autos, on tundnud, et teda surutakse ringi keskmest väljapoole. Ringjooneliselt liikuvale kehale mõjuks nagu mingi keskpunktist eemale suunatud jõud. Sellele jõule on antud ka eraldi nimetus — tsentrifugaaljõud (centrum + fugiô — ladina k. kese + põgenema). Tegemist on niinimetatud inertsijõuga, mida tajutakse siis, kui kiirendusega liikuvat keha vaadeldakse paigalseisvana ehk siis selle enda suhtes. Maaga seotud taustsüsteemis selline jõud kehale ei mõju.

Ringjooneliselt liikuvad kehad paiskuvad keskmest eemale

Kui me istume autos, siis oleme selle suhtes paigal. Sisenedes kurvi, hakkab auto kõrvale pöörama ja sunnib kaasa pöörama ka autosistujaid. Seda teeb see mõjudes neile näiteks turvavöö elastsusjõuga ringi sisse. Sõitjatele tundub seevastu nagu lükataks neid väljapoole. Maa suhtes vaadeldes seda väljapoole mõjuvat jõudu ei eksisteeri. Inertsi tõttu püüavad auto ja autosistujad liikuda otse ehk ringliikumise keskmest eemale ja ainus jõud, mis neile tegelikult mõjub, on liikumist ringjooneliseks sundiv kesktõmbejõud.

Taevakehade liikumine

Kõik me teame, et planeedid tiirlevad ümber Päikese ning Kuu tiirleb ümber Maa. Trajektooriks on üsna täpselt ringjoon. Näiteks Maa kaugus Päikesest ei muutu tiirlemise käigus enam kui 3 %.

Juba Newton oletas, et planeetide tiirlemine on tingitud gravitatsioonijõust. Tuginedes tänastele teadmistele gravitatsiooni ning ringliikumise kohta võime väita, et gravitatsioonijõud on kesktõmbekiirenduse tekitajana tõesti taevakehade tiirlemise põhjuseks.

Taevakehad tiirlevad tänu gravitatsioonijõule

Oletame, et planeedil massiga M on kaaslane massiga m, mis tiirleb selle ümber ringorbiidil raadiusega r. Vastavalt gravitatsiooniseadusele tõmbab planeet kaaslast jõuga

\[F = G\frac{{mM}}{{{r^2}}}\]

See jõud ongi kaaslase tiirlemist põhjustavaks kesktõmbejõuks, mis on valemi (2.39) järgi seotud tiirlemise nurkkiirusega järgmiselt:

\[G\frac{{mM}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\]

Siit saame avaldada nurkkiiruse ning sellest omakorda tiirlemisperioodi:

\[\omega = \sqrt {\frac{{GM}}{{{r^3}}}}\] \[T = 2\pi \sqrt {\frac{{{r^3}}}{{GM}}}\]

Viimane seos näitab, et tiirlemisel mööda ringorbiiti on perioodi ruut võrdeline tiirlemisraadiuse kuubiga. Selle seaduspärasuse avastas planeetide vaatlusandmeid analüüsides Saksa astronoom Johannes Kepler juba 1619. aastal.

Tiirlemise orbiidiks on ringjoon vaid siis, kui gravitatsioonijõud mõjub kogu aeg liikumisega risti. Paljude taevakehade puhul ei ole see aga alati nii. Kui gravitatsioonijõud pole kiirusega risti, mõjub see liikumisele kiirendavalt või aeglustavalt. Sel juhul on liikumine muutuv ning trajektooriks on ringjoone asemel väljavenitatud ellips või isegi mittekinnine joon nagu parabool või hüperbool.

Muutuvalt liikuva taevakeha trajektoor erineb ringjoonest

Ringliikumine looduses ja tehnikas

Looduses võime ringliikumist kohata eelkõige taevakehade juures. Gravitatsiooni tõttu kõik maailmaruumi kehad tõmbuvad. Vaid tänu tiirlemisele ei kuku Kuu Maale ning planeedid Päikesele. Ka mitmesajast miljardist massiivsest tähest koosnev Linnutee galaktika ei tõmbu kokku, vaid säilitab oma 100 000 valgusaasta suuruse läbimõõdu tänu tähtede tiirlemisele.

Galaktika koosneb tiirlevatest tähtedest

Lisaks tiirlemisele võivad taevakehad ka pöörelda. Öö ja päev vahelduvad tänu maakera pöörlemisele ja pöörlemistelje kalde muutumatus tingib aastaaegade vaheldumise.

Looduslikku ringliikumist leidub ka maapealsetes mastaapides. Näiteks saaki otsiva kotka tiirlemine õhus või keeristormid. Looduslik ringliikumine on enamasti ühtlane. Tiirleva taevakeha kiirus muutub, kui trajektoor erineb ringjoonest. Pöörlemiskiirus võib muutuda mõne teise keha mõjul. Näiteks pole Maa pöörlemine absoluutselt ühtlane, kuna Kuu põhjustab maailmamere loodeid.

Õhumasside keerlemine tekitab keeristormi

Tehnikas on ringliikumise kohta palju näiteid. Autod sõidavad tänu pöörlevatele ratastele, informatsiooni salvestatakse pöörlevatele laserplaatidele ning magnetketastele, sidet peetakse ümber Maa tiirlevate tehiskaaslaste abil.

Kiiresti pöörlev trummel eraldab koorelahutajas rasva piimast

Ringliikumisega kaasnevat kesktõmbekiirendust võib kasutada kaalu muutmiseks. Astronaudid treenivad tiirlevatel trenaþööridel vastupidavust ülekoormusele ning tsentrifuugi abil eraldatakse segust erineva tihedusega aineid.

Võnkumised ja lained

Aastal 1985 kukkusid maavärina tõttu Mexicos kokku paljud keskmise kõrgusega hooned. Kõrgemad ja madalamad hooned jäid püsti (vaata pilti). Inglismaal Manchesteri lähedal ületasid ratsaväelased 1831. aastal silda ning marssisid ilmselt samas taktis silla võnkumisega. Sild kukkus kokku pärast seda, kui üks silda toetanud polt purunes.

Londonis avati 2001.aastal uus üle Thamesi jõe ulatuv sild, mis ühendab Tate’i Moodsa Kunsti Galeriid St. Pauli kiriku ümbrusega ja mis pidi tähistama uue aastatuhande saabumist. Kui esimene jalakäijate voog hakkas Milleeniumisilla nime kandvat ehitist ületama, hakkas see nii tugevasti kõikuma, et mõned jalakäijad jäid vaid käsipuude abil püsti. Kas sarnased võnkumised võivad ilmneda tantsupõrandal või rokk-kontserdil? Kas hea laulja suudaks veiniklaasi või mõne muu klaasanuma lihtsalt lauldes purustada?

Võnkumine

Võnkumise mõiste

Enamik looduses aset leiduvaid nähtusi toimuvad perioodiliselt. Teatud aja möödudes kordub kõik jälle uuesti. Nii vahelduvad öö ja päev ning aastaajad, kordub lindude ränne igal kevadel lõunamaalt koju pesitsema ja igal 1. septembril minnakse jälle kooli. Kõikjal igapäevases elus, looduses ja tehnikas võime kohata perioodiliselt korduvat liikumist — merelained loksuvad vastu kaldakive, puuoksad kõiguvad tuules, linnud lehvitavad tiibu, õmblusmasina nõel liigub üles-alla, praam sõidab edasi-tagasi Virtsu ja Kuivastu vahet. Seda tüüpi liikumiste tundmaõppimine ning ühiste joonte väljaselgitamine aitab meil ümbritsevat paremini mõista ja kogutud teadmisi enda kasuks rakendada.

Ühte osa perioodiliselt korduvatest liikumistest me juba õppisime lähemalt tundma. Selleks on ringliikumine. Teiseks suureks grupiks on võnkumine. Erinevalt teistest perioodilistest liikumistest kordub võnkumisel liikumine võrdsete ajavahemike tagant nii, et esialgsesse asendisse läheb keha tagasi sama teed mööda. Võnkumiseks nimetatakse perioodilist edasi-tagasi liikumist teatud tasakaaluasendist kord ühele, kord teisele poole. Nii on võnkumine mootorikolvi üles-alla liikumine, mitte aga väntvõlli pöörlemine. Viimasel juhul jõuab vändaots küll korduvalt esialgsesse seisu tagasi, kuid ikka mööda ringjoont tiireldes.

Võnkumisel liigub keha edasi-tagasi sama trajektoori mööda

Kuna võnkumine kujutab endast muutuvat liikumist, on selle tekkimiseks vaja vastastikmõju. Kuna vastastikmõjus osaleb alati mitu keha, siis saab ka võnkumine toimuda mitte ühe keha, vaid kehade süsteemi korral. Näiteks ei saa vedru otsa riputatud raskus võnkuda, kui puuduks maakera oma külgetõmbega. Iga sellist mitmest vastastikmõjus olevast kehast koosnevat süsteemi, milles võib tekkida võnkumine, nimetatakse võnkesüsteemiks.

Võnkumine toimub võnkesüsteemis

Võnkumiste liigid

Kui võnkumine toimub vaid süsteemi kuuluvate kehade vaheliste mõjujõudude toimel, on tegemist vabavõnkumisega. Vabavõnkumiseks nimetatakse süsteemi sisejõudude mõjul toimuvat võnkumist. Näiteks võib vabalt võnkuda niidi otsas rippuv kivi, kui miski selle tasakaalust välja viib. Süsteemi moodustavad siin ülalt kinnitatud niit, kivi ja maakera. Süsteemisisesteks jõududeks on gravitatsioonijõud Maa ja kivi vahel ning niidi tõmbejõud. Mõnikord nimetatakse vabavõnkumist ka omavõnkumiseks.

Vabavõnkumine toimub süsteemi sisejõudude mõjul

Mehaanilise vabavõnkumise tekkimiseks peab süsteemis olema täidetud kolm tingimust: 

• Kõigepealt peab süsteemil olema püsiv tasakaaluolek. Püsiv tasakaal on selline, millest väljumisel tekkivad jõud viivad süsteemi tasakaaluolekusse tagasi.
• Teiseks peab süsteem omama inertsi. Kui keha liigub tasakaaluasendi poole suunatud jõu mõjul kiirenevalt, ei jää see kohale jõudes mitte silmapilkselt seisma, vaid liigub hooga edasi ning eemaldub tasakaaluasendist teisele poole.
• Kolmandaks peab süsteem saama võnkumise käivitamiseks (tasakaalust väljaviimiseks) välise tõuke.

Vabavõnkumise tekkimiseks peab olema püsiv tasakaal, inerts ja väline tõuge

Kuna igale kehale mõjub liikumist takistav hõõrdejõud, siis ei saa vabavõnkumine kesta ilma välise abita igavesti. Võnkumise kiirus ja ulatus hääbuvad aja jooksul nullini. Sellist võnkumist nimetatakse sumbuvaks. Looduses on vabavõnkumised alati sumbuvad. Sumbumatu võnkumise saamiseks tuleb hõõrdumist millegi välisega kompenseerida. Näiteks pommidega kellas annab spetsiaalse mehhanismi kaudu pendlile igal võnkel hoogu juurde pomme allapoole tõmbav raskusjõud.

Kui võnkumine toimub mingi välise perioodilise jõu mõjul, on tegemist sundvõnkumisega. Nii võngub õmblusmasina nõel üles-alla vaid seepärast, et käsi või mootor vänta ringi ajab. Kuna siin saab süsteem energiat välisest allikast, on sundvõnkumine alati sumbumatu. Sundvõnkumiseks on näiteks lõiketera liikumine höövelpingis, pintsli liikumine värvimisel ja klaasipuhastaja liikumine autoaknal.

Sundvõnkumise tekitab perioodiline välismõju

Võnkumist iseloomustavad suurused

Nagu igat perioodilist liikumist, iseloomustab ka võnkumist ajavahemik, mille möödumisel liikumine uuesti kordub. Ühe täisvõnke sooritamiseks kuluvat aega nimetatakse võnkeperioodiks. Võnkeperioodi tähis ja mõõtühik on samasugused kui ringliikumise perioodil, seega T ja sekund.

Periood on täisvõnke sooritamise aeg

Kui võnkeperiood on täpseks mõõtmiseks liiga lühike, saab täpsust tõsta, mõõtes mitte ühe, vaid suurema arvu võngete sooritamise koguaega t: Kui võngete arvu tähiseks võtta N, saame perioodi arvutada valemist

\[T = \frac{t}{N}\]

Ajaühikus sooritatavate täisvõngete arvu nimetatakse võnkesageduseks. Võnkesageduse tähis on sarnaselt ringliikumisega f ja mõõtühik herts (Hz). Analoogiliselt ringliikumise sagedusega on võnkesagedus võrdne võnkeperioodi pöördväärtusega:

\[f = \frac{1}{T} = \frac{N}{t}\]

Võnkumisel liigub keha tasakaaluasendist kord ühele, kord teisele poole. Võnkuva keha kaugust tasakaaluasendist nimetatakse keha hälbeks. Hälve on ajas muutuv suurus ja sõltuvalt sellest, kummal pool tasakaaluasendit keha asub, loetakse see kas positiivseks või negatiivseks. Kuna hälve kujutab endast tegelikult keha koordinaati, on selle tähiseks võetud x ja mõõtühikuks on pikkusühik meeter.

Hälve on keha kaugus tasakaaluasendist

Maksimaalset hälvet ehk suurimat kaugust tasakaaluasendist nimetatakse võnkeamplituudiks. Amplituudi tähiseks on x₀. Kui sumbumatul võnkumisel amplituud ei muutu, siis sumbuval väheneb see aegamisi nullini.

Amplituud on suurim hälve

Harmooniline võnkumine

Harmooniline võnkumine ja võnkumise võrrand

Võnkuvat liikumist esineb looduses kõikjal meie ümber. Kui soovime loodust uurida ja võimalikult täpselt arvude abil kirjeldada, peame oskama ka võnkumist matemaatiliste meetoditega väljendada. Selleks, et jõuda võnkumise võrrandini, vaatleme veelkord ringliikumist.

Kujutame ette mingit tiirlevat eset. Näiteks vinüülplaadimängija pöörleva ketta servale asetatud tikutoosi. Kui nüüd keha valgustada küljelt, piki tiirlemistasandit, liigub vari seinal mitte ringjooneliselt, vaid edasi-tagasi. Vari võngub, kusjuures selle võnkumise sagedus langeb kokku eseme tiirlemise sagedusega ning võnkeamplituud tiirlemise raadiusega. Niisugust varju edasi-tagasi liikumist pole raske matemaatiliselt kirja panna.

Vaatame kõrvalolevat joonist, millel on näidatud ese, selle tiirlemise trajektoor ning vari seinal. Koordinaattelg on suunatud piki varju liikumist nii, et nullpunkt asuks tiirlemiskeskme kohal. Tiirleva eseme asukohta kirjeldab pöördenurk φ ja varju hälvet (kaugust koordinaadi nullpunktist) x. Joonisel tekib täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuusiks on trajektoori kõverusraadius r ning nurga φ vastaskaatetiks varju hälve x. Matemaatikas õpitud siinusfunktsiooni definitsiooni järgi

\[\frac{x}{r} = \sin \varphi\]

Tiirlemise nurkkiiruse saame asendada valemis aja kaudu:

\[\varphi = \omega t\]

Nii kehtib varju võnkumise hälbe jaoks seos

\[x = r\sin \omega t\]

Kuna vari ei saa keskpunktist kaugemale minna kui tiirlemise raadius r, siis on selle väärtus ka võnkeamplituudiks x₀ = r. Pärast asendust saamegi hälbe arvutamiseks mistahes ajahetkel valemi:

\[x = {x_0}\sin \omega t\]

Saadud valem kirjeldab varju liikumist seinal, näidates selle koordinaadi sõltuvust ajast.

Kõiki selliseid võnkumisi, mida saab kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil, nimetatakse harmoonilisteks võnkumisteks. Seos (3.6) on seega harmoonilise võnkumise võrrand.

Siinuse argumendiks olevat suurust \(\varphi = \omega t\) nimetatakse võnkumise faasiks. Faasi mõõtühikuks on radiaan (rad) ning seda saab avaldada võnkesageduse ja perioodi kaudu:

\[\varphi = \omega t = 2\pi ft = \frac{{2\pi }}{T}t\]

Suurust ω, mis tiirlemise jaoks on nurkkiirus, nimetatakse võnkumise korral ring- ehk nurksageduseks. Ringsageduse mõõtühik on 1 rad/s.

Paljud looduses esinevad võnkumised on harmoonilised või sellele lähedased. Seepärast omab harmoonilise võnkumise võrrand (3.6) suurt tähtsust. Võrrand võimaldab kirjeldada peaaegu kõiki võnkumisega seotud nähtusi.

Võnkumise graafik

Lisaks võrrandile saab võnkumisi kirjeldada ka graafiku abil. Võnkumise graafik näitab keha koordinaadi sõltuvust ajast. Püstteljele kantakse koordinaat ehk võnkumise hälve ja horisontaalteljele aeg. Reaalselt saab võnkumise graafikut joonistada näiteks vedrupendli raskuse külge kinnitatud viltpliiatsi abil, mis surub vastu ühtlase kiirusega nihutatavat pabeririba.

Harmoonilise võnkumise graafiku võib joonestada ka võnkumise võrrandi järgi erinevatele ajahetkedele vastavaid koordinaate välja arvutades ja teljestikku kandes. Nii talitades saame võnkumise graafikuks sujuva lainelise joone, mida nimetatakse sinusoidiks.

Võnkumise graafik annab liikumise kohta teavet

Sinusoid läbib kordamööda teljestiku positiivset ja negatiivset ala, jäädes samal ajal amplituudiga määratud horisontaaljoonte vahele. Sinusoid lõikab ajatelge iga poole perioodi tagant. Seda teades on graafikult võnkumise amplituudi ja perioodi lihtne välja lugeda.

Veel annab graafik informatsiooni võnkuva keha kiiruse muutumise kohta. Teatavasti näitab kiirust liikumisgraafiku tõus. Uurides sinusoidi näeme, et suurima hälbega punktides graafiku puutuja mitte ei tõuse ega lange, vaid on horisontaalne. Seega on neil hetkedel keha paigal ja liikumise suund muutub vastupidiseks. Suurim tõus või langus toimub hetkedel, mil joon lõikub ajateljega. Järelikult liigub keha tasakaaluasendi poole kiirenevalt, maksimumkiirus saavutatakse tasakaaluasendis ja sellest eemaldumisel liikumine jälle aeglustub.

Võnkumised looduses ja tehnikas

Võnkumised meie ümber

Võnkumisi võib kohata nii elus ja eluta looduses kui ka inimese poolt valmistatud objektide juures. Neid on vabu ja sunnitud, sumbuvaid ja sumbumatuid. Paljude puhul me isegi ei teadvusta endale, et tegemist on võnkumisega.

Looduses võib kohata mitmeid vabalt võnkuvaid kehi. Puud kõiguvad tuules, haavalehed värisevad ning vees ujuv puunott õõtsub üles-alla. Enamik sellistest võnkumistest ei täida mingit kindlat eesmärki, kuid mõned võivad siiski ka kasu tuua. Õite kõikumine äratab tolmeldavate putukate tähelepanu, kõikuvatest viljadest levivad seemned kaugemale ning peente ja lapikute rootsude otsas rippuvate haavalehtede värisemine aitab puul paremini valgust püüda ja vee aurumist reguleerida.

Haavalehtede värisemine on puule kasulik

Sundvõnkumist kasutavad elusolendid liikumiseks. Me ise liigutame kõndimisel käsi ning jalgu edasi-tagasi. Paljud mikroorganismid liiguvad viburi võngutamise abil, linnud ja putukad lehvitavad tiibu, vee-elanikud liigutavad saba, uimi või loibi.

Sundvõnkumist kasutatakse edasiliikumiseks

Mitmesugused võnkumised on inimeste poolt rakendust leidnud. Kes meist poleks näiteks lapsepõlves kiikunud! Kiikumises korraldatakse isegi võistlusi. Veel üheks näiteks on heliallikad. Kõik kehad, mis võnguvad sagedusvahemikus 16 - 20 000 Hz, tekitavad kuuldavat heli. Heliallikaks võivad olla vabalt võnkuv pillikeel, kirikukell ja trumminahk. Ka akordionis ja saksofonis teeb häält võnkuv keel, kuid see on kitarrikeelega võrreldes hoopis teistsugune. Kõlaris tekitab heli muutuva elektrivoolu poolt võnkuma sunnitud valjuhääldi membraan.

Võnkuv pillikeel tekitab heli

Sundvõnkumist rakendatakse masinates, mis viivad korduvalt läbi üht ja sama operatsiooni. Siin võib näiteks tuua õmblusmasina, kolbpumba, aurumasina ja pudelikorkija.

Pendlid

Nagu nägime, võivad võnkuvad süsteemid olla väga erinevad. Ometigi saab neid sarnaste joonte põhjal grupeerida ning ühise lihtsustatud mudeli alla viia. Võnkuva süsteemi füüsikalist mudelit nimetatakse pendliks. Kõige sagedamini kasutatavateks mudeliteks on matemaatiline pendel, vedrupendel ja füüsikaline pendel. Kõiki pendleid iseloomustab isokroonsus ehk võime võnkeamplituudi muutumisel võnkeperioodi säilitada. See võimaldab pendleid kasutada kellade käigu regulaatorina.

Matemaatiliseks pendliks nimetatakse venimatu kaalutu niidi otsa riputatud punktmassi. Tasakaalust väljaviimisel liigub niidi otsa riputatud keha mööda ringjoone kaart, mille kõverusraadius on võrdne niidi pikkusega.

Matemaatiline pendel

Matemaatilise pendli sarnaselt võngub mistahes raske ese, mis on riputatud sellega võrreldes palju kergema ja pikema niidi või nööri otsa. Matemaatilise pendli võnkumist põhjustab raskusjõud koos niidis tekkiva tõmbejõuga. Väikese võnkeamplituudi korral sõltub periood ainult pendli pikkusest l ning vaba langemise kiirendusest g:

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}\]

Matemaatilise pendli abil on lihtne määrata vaba langemise kiirendust. Asjaolu, et selline pendel säilitab oma võnketasandi, kasutas prantsuse füüsik Jean Foucault 1848. aastal maakera pöörlemise tõestuseks.

Vedrupendliks nimetatakse absoluutselt elastse vedru otsa riputatud punktmassi. Võnkumist põhjustab siin elastsusjõu ja raskusjõu resultant.

Vedrupendel

Vedrupendli võnkeperiood on määratud vedru jäikuse k ning keha massiga m:

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}}\]

Füüsikaliseks pendliks nimetatakse suvalise kujuga jäika keha, mis saab rippudes võnkuda liikumatu punkti ümber. Füüsikaliseks pendliks võib olla näiteks kiikuv pilt seinal või naela otsa riputatud mutrivõti. Füüsikalise pendli võnkeperiood sõltub keha kujust, massist, kinnituskoha ning raskuskeskme vahekaugusest ja vaba langemise kiirendusest.

Füüsikaline pendel

Kuna keha kuju ja riputuspunkt võivad olla väga erinevad, pole siinkohal võimalik anda füüsikalise pendli võnkeperioodi üldist valemit. Näiteks ühest otsast üles riputatud ühtlase varda võnkeperiood sõltub varda pikkusest l järgmiselt:

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{{2l}}{{3g}}}\]

Resonants

Võnkumine võib olla kas vaba või sunnitud. Mis juhtub aga siis, kui vabalt võnkuvale süsteemile mõjub lisaks väline perioodiline jõud? Juhul, kui välise mõju sagedus langeb kokku süsteemi vabavõnkumise sagedusega, hakkab amplituud kasvama ja võib ka väikese jõu korral väga suureks muutuda. Kõik me teame, et kiigele hoo andmiseks ei tule pidevalt ühes suunas lükata, vaid kiike kergelt kindlate ajavahemike tagant tõugata.

Ka mitmetonnise raske auto saab suhteliselt väikese jõuga poriaugust välja lükata. Selleks kõigutatakse autot edasi-tagasi, kuni võnkliikumise amplituud kasvab sedavõrd, et masin välja pääseb.

Toodud näidetes väljendub resonantsinähtus.

Õige sagedusega tõukamisel kiikumise amplituud suureneb

Resonantsiks nimetatakse nähtust, kus välise mõju sageduse kokkulangemisel süsteemi vabavõnkumise sagedusega suureneb võnkeamplituud märgatavalt.

Näiteks võib kõlar mingi ühe kindla madala noodi kõlamisel valjult plärisema hakata. Siis ongi tegemist resonantsiga — mängitava kindla kõrgusega heli sagedus langeb kokku valjuhääldi membraani enda võnkumise sagedusega.

Resonantsil töötav sagedusmõõtja

Resonantsi saab kasutada tundmatu võnkesageduse määramisel. Selleks viiakse võnkuva kehaga kokkupuutesse näiteks erineva pikkusega plekiribad. Riba, mille võnkesagedusega mõõdetav sagedus kokku langeb, hakkab suure amplituudiga võnkuma.

Resonantsi kasutatakse paljude muusikariistade juures. Nii võimendab viiuli kõlakast keelte helisemist just tänu resonantsile. On ka selliseid pille, millel saavutatakse eriline kõlapilt põhikeelte kõrvale tõmmatud lisakeeltele abil, mis tänu resonantsile iseenesest helisema hakkavad.

Resonants võib ka ohtlik olla. Pole raske ette kujutada, mis juhtuks, kui silla kõikumise ning sillal sõitva auto õõtsumise sagedused kokku langeksid. Seepärast peavad arhitektid suurte ehitiste projekteerimisel arvestama võimalike perioodiliste välismõjudega, nagu näiteks inimeste kõndimine, tuulekeerised ja maavärinad.

Tacoma sild purunes resonantsi tagajärjel

Lained

Laine mõiste

Lained seostuvad meie mõtetes tavaliselt merega, kus vesi rütmiliselt kaldakive uhub. Samuti oleme kuulnud maavärinate tekitatud hiidlainetest, mis pühivad maapinnalt terveid linnu. Lained ei kuulu aga ainult mere juurde, tegemist on palju mitmekesisema nähtusega. Lainete hulka kuuluvad näiteks heli ja valgus, ning teleprogrammid ja mobiilikõnedki jõuavad meieni raadiolainete vahendusel. Lainetest räägitakse isegi poliitikas, majanduses ja muusikas (new wave).

Lained ei seondu ainult merega

Laine puhul on alati tegemist millegi liikumise või muutumisega. See, mis liigub, võib olla aine nii tahkes, vedelas kui ka gaasilises olekus. Lained levivad näiteks õhus, vees ja maakoores. Aineosakeste liikumisega seotud laineid nimetatakse mehaanilisteks laineteks. Kui mehaanilised lained saavad levida vaid aines, siis valguse ja raadiolainete korral kanduvad elektrilise ja magnetilise vastastikmõju muutused edasi ka läbi tühjuse.

Laine tekkimiseks on vaja keskkonda häirida, tasakaalust välja viia. Rahulikul veepinnal tekivad lained siis, kui sinna kivi visata ja helilainete tekitamiseks peab valjuhääldi membraan õhku kord tihendama, kord hõrendama.

Laine tekib keskkonna häirimisel

Lainetada ei saa igasugune keskkond. Kui viskame kivi liiva sisse, siis ei teki selle pinnal mingeid liikuvaid laineid, vaid ainult lohk. Liiv pole elastne ega püüa oma esialgset olekut taastada. Mehaanilised lained tekivad vaid elastses keskkonnas nagu kivi saab võnkuda elastse vedru otsas.

Elastse keskkonna tasakaalu häirimisel tekivad tasakaalu taastavad jõud, mis panevad keskkonna osakesed võnkuma. Et osakesed on vastastikmõjus naabritega, hakkavad omakorda ka need võnkuma. Võnkumine levib ruumis edasi. Seejuures aine ise edasi ei kandu. Selles võime veenduda, kui jälgime veelainetel hüplevat puutükki. Edasi ei kandu mitte aine (puutükk, vesi), vaid ainult selle häiritus - elastses keskkonnas toimuv võnkumine. Edasi kandub võnkumise energia. Energia edasikandumisele annab kinnitust tumeda pinna soojenemine valguslainete neeldumise tõttu.

Ülaltoodu põhjal võimegi sõnastada laine definitsiooni: Laineks nimetatakse võnkumiste edasikandumist ruumis.

Lainete liigid

Definitsiooni järgi kujutab laine endast võnkumiste edasikandumist ruumis. Võnkumine saab toimuda mingis kindlas sihis. Sõltuvalt sellest, millises sihis võnkumine laine levimissuuna suhtes toimub, eristatakse kahte liiki laineid.

Tiiki visatud kivi poolt tekitatud lained levivad piki veepinda kalda poole, pinnal lebavad vesiroosilehed õõtsuvad samal ajal üles-alla. Võnkumine toimub levimissuunaga risti ja tegemist on ristlainega. Ristlaineks nimetatakse lainet, milles võnkumine toimub levimissuunaga risti.

Ristlained on näiteks lained veepinnal, raadio- ja valguslained, maavärina tekitatud seismilised pinnalained ning võimleja poolt tekitatud liikumine võimlemislindis.

Ristilaines toimub võnkumine risti levimissuunaga

Kui lüüa pika vedru otsa pihta, hakkavad ka selles võnkumised levima. Erinevalt merelainetest toimub võnkumine siin piki levimissuunda. Vedrukeerud kord lähenevad, kord eemalduvad üksteisest. Piki vedru liiguvad edasi kokkusurutud ja hõredaks tõmmatud keerdudega kohad. Tegemist on pikilainega. Pikilaineks nimetatakse lainet, milles võnkumine toimub piki levimissuunda. Pikilainena levib näiteks heli.

Pikilaines toimub võnkumine piki levimissuunda

Dominoefekt

Lainet iseloomustavad suurused

Kuna laine on ruumis leviv võnkumine, siis iseloomustavad seda ka kõik võnkumist kirjeldavad suurused. Nii iseloomustavad lainet võnkeamplituud x₀ (mõõtühik 1 m), periood T (1 s) ja sagedus f (1 Hz).

Laine võnkeamplituudi ei tohi segi ajada laine kõrgusega. Laine kõrgus h on näiteks lainetava veepinna puhul laineharja (kõrgeima punkti) ning lainenõo (madalaima punkti) kõrguste vahe. Laine amplituud seevastu üles-alla võnkuvate veeosakeste suurim kaugus tasakaaluasendist ehk tasasest veepinnast lainete puudumisel. Laine kõrgus on võrdne kahekordse amplituudiga:

\[h = 2{x_0}\]

Laine kõrgus on võrdne kahekordse amplituudiga

Lisaks loetletutele on veel kaks suurust, mille abil lainete levimist iseloomustatakse. Esimene neist on lainepikkus. Lainepikkuseks nimetatakse kaugust kahe teineteisele lähima samas taktis võnkuva punkti vahel. Laineallikast kaugemate punktide võnkumine on lähemate võnkumistest hilisem ning kui hilinemine on võrdne ühe võnkeperioodiga, võnguvad punktid samas taktis ehk samas faasis. Neis punktides on kogu aeg võnkumise hälve ja kiiruse suurus ning suund ühesugused. Nii on lainepikkus võrdne näiteks kahe naaberlaineharja vahekaugusega, sest kõikides harja punktides on hälve ühtviisi maksimaalne ja osakeste kiirus null. Täpselt samamoodi on lainepikkusega võrdne lainenõgude vaheline kaugus.

Lainepikkus on kaugus kahe samas taktis võnkuva punkti vahel

Lainepikkust tähistatakse valemites ja joonistel kreeka tähega λ (lambda) ning selle mõõtühikuks on meeter.

Teiseks iseloomustab võnkumise edasikandumist laine levimiskiirus. Teame, et kiirus on võrdne nihke pikkuse ja aja jagatisega:

\[v = \frac{s}{t}\]

Võttes aja võrdseks võnkeperioodiga T, jõuab võnkumine selle ajaga edasi kanduda ühe lainepikkuse võrra. Vastab ju ühele lainepikkusele üks täisvõnge. Nii saame laine levimiskiirust väljendada lainet iseloomustavate suuruste kaudu järgmiselt:

\[v = \frac{\lambda }{T} = \lambda f\]

Lainetega kaasnevad nähtused

Lainete peegeldumine

Kõik me oleme kokku puutunud sellise nähtusega nagu kaja. Kui hõigata mägedes või metsaäärsel lagedal, siis kuuleme enda tekitatud heli hetke pärast uuesti. Mõnes suures ruumis võib heli üsna kauaks kõlama jääda. Tegemist on helilainete peegeldumisega.

Peegelduvad kõik lained sõltumata liigist. Laine peegeldub siis, kui jõuab teistsuguse keskkonnani. Näiteks merelaine jõuab kaljuni või valguslained satuvad kuuma ja külma õhu piirile. Peegeldumine toimub kahe erineva keskkonna lahutuspinnalt.

Ühtlases keskkonnas levib laine sirgjooneliselt

Seejuures pole tähtis, mis ainest ja millises olekus need keskkonnad on. Peaasi, et need on erinevad. Peegeldumise tunnuseks on see, et kohates teist keskkonda, pöördub laine esialgsesse tagasi. Peegeldumiseks nimetatakse laine tagasipöördumist kahe keskkonna lahutuspinnalt lähtekeskkonda.

Peegeldumine on laine tagasipöördumine keskkondade lahutuspinnalt

Lainete peegeldumisel kehtib seaduspärasus, et pinnanormaali (pinna ristsirge) suhtes mõõdetud langemisnurk ja peegeldumisnurk on võrdsed.

Peegeldumisnurk on võrdne langemisnurgaga

Ultrahelilainete peegeldumist kasutavad näiteks nahkhiired pimedas orienteerumisel ning arstid siseorganite uurimisel.

Lainete murdumine

Jõudes teise keskkonda, võib laine selles edasi levida. Seejuures levimissuund sageli muutub. Tegemist on laine murdumisega. Laine murdumiseks nimetatakse laine levimissuuna muutumist ühest keskkonnast teise üleminekul. Murdumine toimub sarnaselt peegeldumisega erinevate keskkondade lahutuspinnal.

Murdumine on levimissuuna muutus teise keskkonda üleminekul

Murdumise põhjuseks on laine levimiskiiruse erinevus keskkondades. Laine pöördub selle keskkonna poole, kus levimiskiirus on väiksem. Sarnane suunamuutus võib juhtuda suure kiirusega sõitva auto kaldumisel teeserva. Kui auto parempoolsed rattad satuvad pehmele teepeenrale ning pidurduvad ja vasakpoolsed jätkavad samas endise hooga, pöörab auto paremale kraavi.

Murdumist põhjustab levimiskiiruste erinevus

Lainete murdumisel kehtib seaduspärasus, et keskkondade lahutuspinna normaali suhtes mõõdetud langemis- ja murdumisnurkade siinuste suhe on võrdne levimiskiiruste suhtega.

Lainete interferents

Kui vette visata korraga kaks kivi, hakkavad lained mõlemast kukkumispaigast mööda veepinda ringidena laiali levima. Kohtumisel need erinevatest allikatest lähtunud lained liituvad ja veepinnal tekib uus lainepilt, mis erineb piltidest, mille tekitanuks kumbki kivi eraldi visatult. Siin on tegemist lainete interferentsiga (inter + ferîre — ladina k. vahel + mõjuma). Interferentsiks nimetatakse nähtust, kus kahe või enama laine liitumisel tekib uus lainemuster. Interferents avaldub selles, et mõnes keskkonna punktis lained liitumisel võimendavad üksteist, teistes aga nõrgendavad. Tulemuseks on see, et mõnes kohas toimub võnkumine suure amplituudiga, teisal jälle väiksema amplituudiga või puudub sootuks. Interferentsi korral tekib ruumis võnkumiste püsiv jaotus amplituudi järgi. Interferents jaotab lainete energia ruumis ringi.

Samas faasis liituvad lained võimenduvad

Merejuttudest võib lugeda, kuidas kaptenid püüavad oma laevu murdlainetest eemal hoida, sest need viitavad alati vees peituvatele karidele. Nimelt kohtuvad seal avamerelt tulevad ja karidelt tagasipeegeldunud lained ning nende interferents väljendubki vahuste murdlainetena. Murdlaine on eriti kõrge laine, mille hari oma raskuse tõttu ära murdub. Seda ei tohi segi ajada lainete murdumisega.

Interferents ei teki siiski igasuguste lainete liitumisel. Kõik teavad, et koori esituses kõlab laul alati valjemini kui solisti suust. Erinevate lauljate tekitatud helilained ei nõrgenda üksteist mitte kunagi. Interferentsi tekkimiseks peavad lained olema sama sagedusega ning võnkumisfaaside erinevus ei tohi muutuda. Teisitiöeldult — erinevate lainete allikad peavad võnkuma muutumatult ühtmoodi. Sagedused peavad olema võrdsed ja ühe allika võnkumine ei tohi teise suhtes muutuda.

Kui kaks lainet on kohtumisel samas faasis (võnkumine on samas taktis), siis täiendavad need liitumisel teineteist ja amplituud kasvab. Sel juhul on tegemist interferentsimaksimumiga. Vastandfaasis lainete puhul kohtub ühe laine hari teise nõoga ning lained kustutavad teineteist. Amplituud väheneb ning tegemist on interferentsimiinimumiga.

Vastandfaasis liituvad lained nõrgenevad

Lainete difraktsioon

Lained võivad oma teel kohata suuremaid ja väiksemaid tõkkeid. Näiteks jäävad merelainete ette erineva suurusega kivid ning sadade meetrite pikkused laiud. Väikeste tõkete taha pääsevad lained kergesti, suuremate taga on vesi aga rahulik , seal on vari.

Siin on tegemist nähtusega, mis leiab aset igasuguste lainete korral. Nimelt osutub, et lained on võimelised tõkete taha painduma. Seejuures pääsevad lained vaid nende tõkete taha, mille mõõtmed on lainepikkusest väiksemad või sellega võrreldavad.

Tegemist on difraktsiooniga (diffrâctus — Ladina k. murdunud, paindunud). Difraktsiooniks nimetatakse nähtust, kus lained painduvad tõkete taha. Tänu difraktsioonile kuuleme me tänaval sõitva auto mootorimüra ka majanurga taha. Helilained painduvad tõkkeks oleva majanurga juures otsesihist kõrvale.

Lained pääsevad väikeste tõkete taha

Difraktsioon avaldub ilmekalt, kui veepinnal levivaid laineid tõkestada ekraaniga, milles on kitsas pilu. Lained levivad siis läbi pilu rõngastena ekraani taha.

Jäävusseadused mehaanikas

Esimene katse inimese Veenusele saatmiseks teostati Marylandis Baltimoris 1928. aastal. Robert Condit ja tema kaks abilist ehitasid raketi nurkraudadest ja purjeriidest. Kütuseks kasutati aurustatud bensiini, mis suunati terastorudesse ja süüdati seejärel elektrisädemega. Condit pidi reisi sooritama üksi, ta oli varunud veidi toitu, vett, kaks taskulampi ja esmaabipauna. Testlennu päeval ronis piloot sõidukisse ja käivitas mootori, et lennata veerand miili kõrgusele lihtsalt selleks, et seadet kontrollida. Terastorudest paiskus välja suitsu ja tuld, aga mingit õhkutõusu ei toimunud. Condit suurendas bensiini pealevoolu, mistõttu leegid muutusid nii pilkupüüdvaks, et liiklus tänaval seiskus. Seade ei liikunud aga endiselt paigast. Condit jätkas üritamist, kuni kütus lõppes.

Kui Craig Breedlove purustas 1964. aasta oktoobris Bonneville soolajärvel maapealse kiirusrekordi oma rakettidel töötaval sõidukil Spirit of America'ga, avas ta kiirusel 846km/h aeglustamiseks langevarju, kuid selle nöör purunes, samuti ei avanenud teine langevari. Nüüd surus ta piduripedaali põhja, temast jäid maha ligi 10 kilomeetri pikkused pidurdusjäljed, enne kui pidurid läbi põlesid. Lõpuks auto peatus, kui ta plartsatas kaldapealselt viie meetri sügavusse soolvee basseini kiirusega umbes 300km/h.

Liikumise kirjeldamine impulsi jäävuse seaduse abil

Impulsi jäävus mehaanika põhiülesande lahendamisel

Mehaanika põhiülesandeks on leida keha asukoht mistahes ajahetkel. Teades algtingimusi ja kõiki kehale mõjuvaid jõude, on Newtoni seaduste abil see ülesanne lahendatav. Paljude ülesannete lahendamisel ei saa aga neid seadusi rakendada, kuna jõud on teadmata. Nii on näiteks kehade põrgete korral, mil jõude ning nende mõjumise aega on raske määrata.

Taolistel juhtudel võetakse jõu ja kiirenduse asemel kasutusele impulss ja energia. Impulss ja energia on erilised suurused, kuna nende puhul kehtib jäävus.

Suuruste jäävus on füüsikateooriate aluseks

Dünaamikas defineeritakse impulss keha massi ja kiiruse korrutisena. Newtoni seaduste analüüs näitab, et impulsi muutumise kiirus on võrdne muutust põhjustava jõuga ning väliste mõjude puudumisel jääb süsteemi impulss muutumatuks. Kahest kehast koosneva süsteemi impulsi jäävust väljendab valem:

\[\Delta \,({m_1}{\vec v_1} + {m_2}{\vec v_2}) = 0\]

Suletud süsteemi impulsi jäävus kehtib mitte ainult kahe, vaid mistahes arvu kehade korral:

\[\Delta \,({m_1}{\vec v_1} + {m_2}{\vec v_2} + \ldots ) = 0\]

Konkreetsete ülesannete lahendamisel on tihti lihtsam kehade koguimpulss enne ja pärast vastastikmõju toimumist eraldi välja kirjutada ning seejärel jäävust arvestades omavahel võrduma panna:

\[{({m_1}{\vec v_1} + {m_2}{\vec v_2} + \ldots )_{enne}} = {({m_1}{\vec v_1} + {m_2}{\vec v_2} + \ldots )_{parast}}\]

Nüüd saab leida, milline on liikumine pärast vastastikmõju toimumist. Seejuures pole vaja teada, kui tugev ja millise kestusega see vastastikmõju oli.

Põrked

Põrkeks nimetatakse üksteise suhtes liikuvate kehade kokkupuutel toimuvat lühiajalist vastastikust mõjumist. Põrgetele on iseloomulik vastastikmõju lühike kestus ning jõudude ja kiirenduste suured väärtused, mida on sageli raske mõõta.

Vastastikmõju tugevus ja kestus pole alati teada

Kõikide põrgete puhul kehtib impulsi jäävuse seadus.

Põrge on liikuvate kehade kokkupuutel toimuv lühiajaline vastastikmõju

Põrked jaotatakse elastseteks ja mitteelastseteks. Elastse põrke tagajärjel kehad eemalduvad üksteisest ning nende liikumise koguenergia selle käigus ei muutu. Mitteelastsel ehk plastsel põrkel jäävad kehad kokku, moodustades liitkeha ning liikumisenergia muundub osaliselt või täielikult mingit muud liiki energiaks, tavaliselt soojuseks.

Kuuli tungimine klotsi sisse on mitteelastne põrge

Leiame impulsi jäävuse seadust kasutades, kui suure kiirusega hakkab libisema paigalseisev klots, millesse jääb kinni teadaoleva massi ja kiirusega lendav püssikuul.

Uuritav süsteem, milles kehtib impulsi jäävuse seadus, koosneb antud juhul kahest kehast — kuulist ja klotsist. Tegemist on mitteelastse põrkega, kuna pärast tabamust moodustub klotsist ja kuulist liitkeha. Kui kasutame tähiseid, kus kuuli mass on m₁ ja lennukiirus v₁, siis kuuli impulsiks on m₁v₁. Kuna klots algul ei liigu ja sel impulss puudub, on meie süsteemi koguimpulss enne põrget võrdne kuuli impulsiga:

\[{p_{enne}} = {m_1}{v_1}\]

Et liikumishulk ei saa väliste mõjude puudumisel muutuda (eeldame, et hõõrdumine klotsi ja aluse vahel puudub), peab liikumine ka pärast tabamust edasi toimuma. Tähistades selle tabamusjärgse liikumise kiiruse tähega v ning klotsi massi sümboliga m₂, saame liitkeha massiks m₁ + m₂ ning süsteemi impulsiks

\[{p_{parast}} = ({m_1} + {m_2})v\]

Impulsi jäävuse tõttu \({p_{enne}} = {p_{parast}}\) ja lihtsaid teisendused annavad, et klots saab kuulitabamuse tagajärjel kiiruse

\[v = \frac{{{m_1}{v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]

Ideaalse gaasi rõhk

Impulsi jäävuse seaduse abil saab kirjeldada ka gaasides toimuvaid protsesse. Hõredat gaasi võib ette kujutada süsteemina, mis koosneb paljudest korrapäratult liikuvatest mõõtmeteta molekulidest, mis mõjutavad üksteist ning muid kehi vaid elastsete põrgete kaudu. Niisugust gaasi mudelit nimetatakse ideaalseks gaasiks.

Ideaalne gaas koosneb elastselt põrkuvatest mõõtmeteta molekulidest

Kui sellise gaasi iga molekuli mass on m₀ ja kiirus v, omavad need kõik impulssi p₀ = m₀v. Absoluutsel põrkel vastu mingit pinda muutub liikumine vastassuunaliseks ja uus impulss saab olema –m₀v. Molekuli impulsi muut on siis Δp₀ = m₀v – (–m₀v) = 2 m₀v.

Lühikese ajavahemiku Δt jooksul saavad mingi pinna poole liikuvatest osakestest sellega põrkuda vaid need, mis ei asu kaugemal kui vahemaa s = v Δt. Kui pinna suurus on S, asuvad need molekulid kõik piirkonnas, mille ruumala V = S•s = SvΔt.

Gaaside iseloomustamiseks kasutatakse molekulide kontsentratsiooni (tähis n). See suurus näitab osakeste arvu ruumalaühikus. Molekulide koguarvu N saab leida, kui korrutada kontsentratsioon ruumalaga: N = nV.

Eelnevalt leidsime ruumala, milles asuvad molekulid võiksid aja Δt jooksul pinnani jõuda. Nende molekulide arv on N = nV = nSvΔt. Tegelikult on põrkuvate molekulide arv väiksem. Kolmemõõtmelises ruumis on liikumine võimalik kolmes sõltumatus ristuvas sihis. Konkreetse pinnaga ristuvas sihis liikuvaid osakesi on kolmandik koguarvust. Pinnale lähenevad neist vaid pooled, ülejäänud eemalduvad. Põrkuda saavaid molekule on seega vaid kuuendik koguarvust. Kui igal põrkel muutub molekuli impulss Δp₀ võrra, siis kõikide põrkuvate molekulide impulsside muut kokku on

\[\Delta \,p = \Delta \,{p_0}\frac{N}{6} = \frac{2}{6}{m_0}vnSv\Delta \,t\]

Sellest seosest saame avaldada impulsi muutumise kiiruse, mis on teatavasti võrdne jõuga:

\[\frac{{\Delta \,p}}{{\Delta \,t}} = \frac{1}{3}{m_0}n{v^2}S = F\]

Jagades selle jõu pindalaga S, saamegi rõhu, mida ideaalne gaas avaldab selles asuvatele kehadele:

\[rohk = \frac{1}{3}{m_0}n{v^2}\]

Gaasi rõhk on tingitud impulsi muutusest molekulide põrgetel

Mehaanika kursuses me sellel valemil pikemalt ei peatu. Tulemus on leidnud katselist kinnitust ning see näitab, et impulsi jäävuse seadust saab füüsikas rakendada ka väljaspool mehaanikat.

Impulsi jäävus looduses ja tehnikas

Reaktiivliikumine

Impulsi jäävuse seaduse üheks huvitavaks ning oluliseks rakenduseks on reaktiivliikumine (re- + activus — ladina k. vastu + tegutsev). Tegemist on Newtoni III seaduse ärakasutamisega nii tehnikas kui ka mõnede loomade poolt looduses. Selleks, et paigalt liikuma pääseda, on vaja vastastikmõju - on vaja teist keha, millest end eemale tõugata, nii et see vastavalt Newtoni III seadusele sama suure jõuga vastu mõjuks. Just tänu sellele saavadki kehad liikuma hakata. Jalad tõukavad teekatet, aerud vett, lennukipropeller õhku.

Kuidas lendavad aga kosmoseraketid õhutühjas maailmaruumis, kus pole midagi, millest end eemale tõugata? Kui läheduses sobiv keha puudub, tuleb see endaga kaasa võtta. Just niiviisi toimitakse rakettide lennutamisel. Rakett hakkab liikuma tänu sellele, et selle ühest otsast paisatakse läbi spetsiaalse ava (düüsi) suure kiirusega välja kütuse põlemisel tekkivad gaasid. Enne starti on paigalseisva raketi ja selles sisalduva kütuse impulss null. Kui nüüd kütuse põlemisel tekkivad gaasid ühes suunas välja lendavad, hakkab rakett ise vastassuunas liikuma. Muidu ei jääks raketist ja gaasidest koosneva süsteemi koguimpulss ju nulliks.

Reaktiivliikumine tekib, kui kehast osa eemale paisatakse

Nii tekibki raketi reaktiivliikumine. Reaktiivliikumiseks nimetatakse liikumist, mille tekitab kehast eemale paiskuv keha osa.

Rakett hakkab liikuma tänu gaaside väljapaiskamisele

Hindame, millise kiiruse võib rakett kütuse ärapõlemisel saada. Oletame lihtsuse mõttes, et põlemisgaasid ei välju raketist tasapisi, vaid ühekorraga.

Olgu raketikesta ja selles asuva aparatuuri ning meeskonna mass m_r, kütuse ja sellest tekkivate gaaside mass m_k ning gaaside väljapaiskumise kiirus v_k. Et algul on rakett paigal ja impulss null, saame impulsi jäävuse seaduse välja kirjutada järgmiselt:

\[0 = {m_r}{\vec v_r} + {m_k}{\vec v_k}\]

Avaldame siit raketi kiiruse

\[{\vec v_r} = - \frac{{{m_k}}}{{{m_r}}}{\vec v_k}\]

Sellest valemist näeme, et rakett liigub gaaside väljapaiskumisele vastassuunaliselt (miinusmärk!) ja kiirus on seda suurem, mida suurem on kütuse ning raketi masside suhe ja mida suurema kiirusega gaasid välja pääsevad. Et kosmoselaev saavutaks Maalt lahkumiseks piisavalt suure kiiruse, peab kütuse mass ületama ülesviidava kasuliku massi hulka sadu kordi ning valida tuleb võimalikult kiiresti põlev kütus.

Esimese reaktiivliikumise põhimõttel töötava seadme ehitust on esimesel sajandil kirjeldanud antiikkreeka matemaatik ja insener Heron. Tegemist oli kahe düüsiga varustatud õõnsa metallkeraga, millesse suunati vee keemisel tekkiv aur. Düüsidest suure kiirusega väljuva auru reaktiivjõud pani selle nn Heroni kera pöörlema.

Heroni aurumasin

Toredaks näiteks reaktiivliikumise rakenduste kohta on muidugi ka hiinlaste poolt 13. sajandil leiutatud püssirohuraketid, mida kasutatakse ilutulestikes siiamaani.

Tänapäeval on reaktiivmootorid väga levinud, kuna need võimaldavad saavutada suuri kiirusi. Nendeta ei saa läbi ükski kosmoselennuaparaat ning enamus kiireid lennukeid liiguvad samuti reaktiivjõul. Reaktiivmootoreid ei kasutata aga mitte ainult lennumasinatel. Neid on monteeritud ka autodele, millega maapealseid kiirusrekordeid püstitatakse. Kui reaktiivautod on üsna haruldased, siis veejoa reaktiivjõul Tallinna ja Helsingi vahet kihutavad Jet kiirlaevad (Jet — inglise k. juga) on üsna igapäevased.

Reaktiivliikumist võib kohata ka mitmete veeloomade juures. Näiteks kasutavad kalmaarid, meduusid ja rannakarbid edasiliikumiseks endasse imetud vee kiiret väljasurumist.

Kalmaar on elus reaktiivmootor

Pöörlemishulga jäävus

Kulgevat liikumist iseloomustab liikumishulk ehk impulss ja kehtib impulsi jäävuse seadus. Impulsiga analoogilise suuruse saab defineerida ka pöörlemise jaoks. Kui kulgliikumise hulka nimetatakse lihtsalt impulsiks, siis pöördliikumise hulka nimetatakse pöördimpulsiks ehk impulsimomendiks.

Pöördliikumist iseloomustab pöördimpulss ehk impulsimoment

On loomulik, et massiivsema keha ja kiirema pöörlemise korral on pöörlemist rohkem. Seepärast sõltubki impulsimoment keha massist ja pöörlemise nurkkiirusest. Kuid erinevalt kulgliikumisest, kus keha võib lugeda punktmassiks, on impulsimomendi määramisel keha kuju, mõõtmed ja massi jaotumine väga olulised. Mida kaugemal paikneb mass pöörlemisteljest, seda suurem on pöörlemishulk, kuna raadiuse suurenemisel joonkiirus kasvab ja liikumist on rohkem. Lihtsama kujuga pöördkehade impulsimoment L on võrdeline keha massi, raadiuse ruudu ja pöörlemise nurkkiirusega:

\[L=bm{r^2}\omega\]

Võrdetegur b sõltub keha kujust. Mõne lihtsama keha jaoks on selle väärtused esitatud järgnevas tabelis:

Sarnaselt impulsiga on ka impulsimoment jääv. Kehtib pöörlemishulga ehk impulsimomendi jäävuse seadus. Välismõjude puudumisel säilitab süsteem oma pöörlemishulga ja sellega koos ka pöörlemistelje asendi. Sellepärast ei kukugi pöörlev vurr ja veerev rõngas ümber ning Maa telje kalde muutumatus paneb aastaajad vahelduma. Kiiresti pöörleva keha telje orientatsiooni muutumatust kasutatakse güroskoopides (γ?ρος + σκοπ?ς — Kreeka k. pöörlemine + vaatleja), mille abil kontrollitakse näiteks lennukite kallet.

Impulssmomendi jäävuse tõttu peab helikopteril olema kaks tiivikut. Kui panna pöörlema vaid üks tiivik, hakkaks helikopter ise vastassuunas pöörlema. Viimast efekti kasutavad näiteks libedal teel tasakaalu kaotanud inimesed, kes kukkumise vältimiseks hakkavad instinktiivselt keha pöördumisega vastassuunas käteringe tegema.

Impulsimomendi jäävuse seadust kasutavad ka tantsijad ja iluuisutajad. Vastavalt seosele (4.10) peab tiirlemisraadiuse muutumisel muutuma ka nurkkiirus. Kui iluuisutaja käed keha ligi tõmbab ja nii nende ringliikumise raadiust vähendab, kasvab tema pöörlemiskiirus järsult, sest korrutis \({r^2}\omega\) peab endiseks jääma.

Käte liigutamine muudab impulsimomendi jäävuse tõttu pöörlemiskiirust

Mehaaniline energia

Töö ja energia

Põhinähtus, mida mehaanika kirjeldab ja uurib, on liikumine. Liikumist võib muuta vastastikmõju abil. Vastastikmõju võib esile kutsuda ka kehade kuju muutumist ehk deformeerumist, mis oma olemuselt on samuti liikumine. Deformeerunud kehad võivad omakorda jälle liikumist esile kutsuda või muuta. Näeme, et liikumine ja vastastikmõju on tihedalt seotud ning määravad ära kehade erinevad seisundid ehk olekud. Sellised olekud võivad muutuda või olla püsivad. Kehade mehaanilist olekut saab muuta nende asukoha, liikumise või kuju muutmise teel. Oleku muutmise protsess on töö. Tööks nimetatakse keha või kehade süsteemi mehaanilise oleku muutmise protsessi kirjeldavat suurust.

Kuna oleku muutust põhjustab vastastikmõju, siis sõltub ka tehtava töö hulk vastastikmõju tugevusest ehk kehale mõjuvast jõust. Seejuures läheb arvesse vaid jõu liikumise sihiline komponent. Veel oleneb tehtav töö läbitud teepikkusest s. Kui töö tähiseks võtta A (arbeit — saksa k. töö), saame ülaltoodut arvestades töö definitsioonivalemiks

\[A=Fs \cos \alpha\]

kus α on nurk keha liikumissuuna ja jõu mõjusuuna vahel ning F•cosα seega jõu liikumissihiline komponent.

Töö on võrdne liikumise sihilise jõu komponendi ja teepikkuse korrutisega

Kui töö abil kirjeldatakse mehaanilise oleku muutumise protsessi, siis olekut ennast iseloomustatakse energia abil. Energiaks nimetatakse keha või kehade süsteemi mehaanilist olekut kirjeldavat suurust, mis näitab võimet teha tööd.

Nii töö kui ka energia mõõtühikuks töö, mida teeb 1 N suurune jõud keha nihutamisel 1 m võrra. Seda ühikut nimetatakse džauliks (J). 1 J = 1 N•1 m = 1 N•m.

Tööd saab teha väga erinevatel viisidel. Näiteks võivad tööd teha teha liikuv haamer, väljavenitatud vedru, kuum aur, elektrivool ja plahvatusreaktsioon. Seetõttu on ka energialiike mitmeid erinevaid. Liikumisest ja kehade vahel mõjuvatest jõududest tingitud energia on mehaaniline energia.

Mehaanilist energiat tingib liikumine või jõud

Kineetiline energia

Mehaanikas eristatakse liikumisenergiat ja vastastikulise mõju energiat. Keha liikumisolekust tingitud energiat nimetatakse kineetiliseks energiaks (κ?νημα — kreeka k. liikumine).

Leiame, kui suurt kineetilist energiat omab keha massiga m, mis liigub kiirusega v. See energia on võrdne tööga, mis tehakse paigalseisvale kehale sellise kiiruse andmisel. Lugedes liikumist ühtlaselt muutuvaks, võib kiirendamise kestel läbitud teepikkuse leida avaldisest (1.18):

\[s = \frac{{{v^2} - {0^2}}}{{2a}} = \frac{{{v^2}}}{{2a}}\]

Kuna kiirendus on vastavalt Newtoni II seadusele võrdeline jõuga F ja pöördvõrdeline massiga m, saame teepikkuse avaldiseks

\[s = \frac{{m{v^2}}}{{2F}}\]

Tehtav töö on võrdne jõu ja teepikkuse korrutisega. Just nii suure energia keha kiirendamise käigus omandaski. Võttes kineetilise energia tähiseks E_k, saame kineetilise energia valemiks

\[{E_k} = \frac{{m{v^2}}}{2}\]

Näeme, et kineetiline energia on võrdeline keha kiiruse ruudu ja massiga.

Potentsiaalne energia

Kui liikuvatel kehadel on kineetiline energia, siis mitmest omavahel vastastikmõjus olevast kehast koosnevad süsteemid omavad potentsiaalset energiat. Potentsiaalseks energiaks nimetatakse kehade vahel mõjuvatest jõududest tingitud energiat. Nimetus on tulnud ladinakeelsest sõnast potentia, mis tähendab võimet või väge.

Potentsiaalne energia on vastastikmõju energia

Väljavenitatud vedru ja mäetippu veeretatud kivi võivad tööd teha, kui need lahti pääsevad, aga ei pruugi pääseda ja tööd teha. Erinevalt aktiivsest liikumisenergiast (toimub asukoha muutumine) on potentsiaalne energia passiivne ja varjatud.

Vedru energia sõltub sellest, kui pikaks me selle venitame, ülestõstetud kivi energia aga tõstmise kõrgusest. Potentsiaalne energia sõltub alati kas keha enda osade või selle ja teiste kehade vastastikusest asendist.

Leiame ülestõstetud keha potentsiaalse energia. Kui kõrgusele h tõstetud keha, mille mass on m, lahti pääseb, läbib see kukkudes teepikkuse s = h ja raskusjõu F = mg poolt tehtav töö A = Fs = mgh. Et kogu see töö tehakse potentsiaalse energia arvel, saamegi energia jaoks avaldise:

\[{E_p} = mgh\]

Ülestõstetud keha potentsiaalne energia on võrdeline massi ja kõrgusega. Et kõrgust h tuleb mõõta alati mingi taustkeha (näiteks maapinna) suhtes, sõltub potentsiaalne energia nullnivoo valikust. Potentsiaalne energia on suhteline.

Potentsiaalne energia on suhteline

Mõnel juhul võib kõrgus tulla negatiivne. Näiteks mõõtes allveelaeva asukohta merepinna suhtes. Nii saab potentsiaalne energia olla erinevalt kineetilisest ka negatiivne.

Mehaaniline koguenergia

Ühel kehal võib samaaegselt olla nii kineetiline kui ka potentsiaalne energia. Näiteks on langeval vihmapiisal nii kukkumise kineetiline kui ka Maa külgetõmbe potentsiaalne energia. Keha või kehade süsteemi kineetilise ja potentsiaalse energia summat nimetatakse mehaaniliseks koguenergiaks:

\[E = {E_k} + {E_p}\]

Kineetilise ja potentsiaalse energia summa on mehaaniline koguenergia

Energia jäävuse seadus

Mehaanilise energia muundumine ja ülekandumine

Mehaanilise energia muundumine ja ülekandumine Kõik me oleme kogenud, et lenduvisatud kivi kõrgus ja kiirus muutuvad. Sellega koos muutuvad ka kivi kõrgusest sõltuv potentsiaalne ja kiirusest sõltuv kineetiline energia. Analüüsime vabalt langeva keha mehaanilise energia muutumist lähemalt.

Kuna kukkumisel mõjub kehale raskusjõud ning toimub liikumine, tehakse potentsiaalse energia kahanemise arvel tööd. Maapinnale jõudmise hetkeks on kogu potentsiaalne energia ära kulutatud. Järelikult on kukkumise käigus tehtud töö võrdne kulunud potentsiaalse energiaga:

\[A = mgh\]

Töö on keha mehaanilise oleku muutumise protsess. Raskusjõud teeb tööd ning selle käigus muutub keha kiirus. Mehaanilise energia mõiste avamise juures selgus, et kui jõud paneb keha liikuma, on tehtav töö võrdne kehale antava kineetilise energiaga:

\[A = \frac{{m{v^2}}}{2}\]

Näeme, et tehtud töö käigus on keha potentsiaalne energia muutunud keha liikumis- ehk kineetiliseks energiaks. Seega ei lähe energia kukkumise käigus mitte kaduma, vaid mehaaniline energia muundub ühest liigist teise. Kukkuva keha potentsiaalne energia muundub kineetiliseks energiaks. Ülesvisatud keha tõusmisel toimub vastupidine protsess — kineetiline energia muundub potentsiaalseks. Võnkumise käigus kordub selline ühest liigist teise ja tagasi muundumine perioodiliselt.

Energia muundub ühest liigist teise

Esineb ka selliseid protsesse, mille käigus mehaanilise energia liik ei muutu, kuid milles toimub energia ülekandumine mõnele teisele kehale. Nii antakse elastsel põrkel ühelt metallkuulilt teisele edasi kineetiline energia. Vedru otsa riputatud koormis annab allapoole vajudes oma potentsiaalse energia venivale vedrule üle.

Energia kandub ühelt kehalt teisele

Mehaanilise energia ülekandumine ja muundumine võivad toimuda ka samal ajal. Nii läheb vinnastatud vibu potentsiaalne energia üle noolele ning muundub samal ajal kineetiliseks.

Mehaanilise energia jäävuse seadus

Äsja nägime, et mehaaniline energia võib muunduda potentsiaalsest kineetiliseks ja vastupidi ning kanduda ühelt kehalt teistele. Kui muundumise ja ülekandumise käigus pole vaja näiteks hõõrdumise ületamiseks täiendavat tööd teha, jääb potentsiaalse ja kineetilise energia summa alati muutumatuks. Potentsiaalse energia vähenemisel kasvab kineetiline energia täpselt sama hulga võrra. Kui keha annab oma energiat teisele kehale ära, saab see täpselt sama palju juurde.

See kehtib muidugi vaid suletud süsteemis, kuhu kuuluvad kehad pole süsteemivälistega vastastikmõjus ega saa nendega energiat vahetada.

Arvukad vaatlus- ja katsetulemused kinnitavad, et mehaaniline koguenergia on jääv. Pole täheldatud ühtegi protsessi, mis oleks selle tulemusega vastuolus. Seega võime sõnastada ühe olulisema loodusseaduse — mehaanilise energia jäävuse seaduse: Suletud süsteemi mehaaniline koguenergia on jääv. Kehade süsteemi energia võib muunduda ühest liigist teise või kanduda ühelt kehalt teisele, kuid kineetilise ja potentsiaalse energia summa ei muutu, st see jääb konstantseks (cônstâns — ladina k. muutumatu).

Mehaane koguenergia on jääv

Mehaanilise energia jäävuse seadust väljendab avaldis

\[{E_k} + {E_p} = {\rm{const}}\]

Tuleb silmas pidada, et see jäävusseadus kehtib vaid süsteemides, milles mehhaaniline energia ei muundu mittemehaanilisteks energialiikideks, näiteks hõõrdumisel ja mitteelastsel põrkel soojuseks või tuulegeneraatoris elektrienergiaks.

Mehaaniline energia ja süsteemiväline töö

Eespool nägime, et ühe ja sama töö tulemusena väheneb potentsiaalne energia ning niisama palju suureneb kineetiline energia. Sellest järeldub, et töö on võrdne ühest liigist teise muundunud energia hulgaga.

Kui süsteem pole suletud, võib tehtava töö tulemusena mehaaniline energia muunduda mittemehaaniliseks. Võimalik on ka vastupidine protsess, kus välise energia arvel tehtav töö suurendab süsteemi mehaanilist energiat. Mõlemal juhul mehaaniline koguenergia muutub, kusjuures muut ΔE_meh on võrdne süsteemiväliste jõudude tööga:

\[\Delta \,{E_{meh}} = {A_{valis}}\]

Pidurdamisel muutub kihutava auto kineetiline energia hõõrdejõu töö tagajärjel soojuseks, mis paneb kummid lausa suitsema. Seevastu mootoris bensiini põlemisel eralduva soojuse arvel tehtav töö annab autole kineetilise energia.

Su?steemiva?liste jo?udude to?o? muudab mehaanilist energiat

Seos (4.20) võimaldab mehaanilise energia jäävuse seaduse rakendamist laiendada. Näiteks saame seda kasutades hõõrdeteguri kaudu välja arvutada auto pidurdusteekonna pikkuse. Selleks tuleb sõiduki kineetiline energia võrdsustada hõõrdejõu pidurdava tööga, mis on võrdne jõu ja teepikkuse korrutisega. Saadud seosest on pidurdustee pikkuse avaldamine lihtne:

\[\frac{{m{v^2}}}{2} = {F_h} \cdot s = \mu mgs \Rightarrow s = \frac{{{v^2}}}{{2\mu g}}\]

Üldine energia jäävuse seadus

Suurt osa meie ümber toimuvatest nähtustest ei saa selgitada ainult mehaanikaseaduste abil. Mehaanika kirjeldab ja uurib liikumist. Lisaks liikumisele leiab aset veel palju muidki nähtusi, nagu näiteks soojuse ja valgusega seonduv, elekter ja magnetism, aatomites ja tuumades toimuvad muundumised...

Need nähtused on väga erinevad, kuid siiski omavahel seotud. Kõiki nähtusi ühendavaks lüliks on energia. Erinevate nähtuste juures avalduvad erinevat liiki energiad. Lisaks mehaanilisele energiale tuntakse veel keemilist, elektromagnetilist, tuuma- ja soojusenergiat.

Energiat on erinevat liiki

Kui vaadata kõiki energialiike tervikuna, kehtib üldine energia jäävuse seadus: Suletud süsteemi koguenergia on ajas muutumatu. Energialiik pole oluline. Peaasi, et puudub energiavahetus süsteemist väljapoole. Energia ei saa tekkida eimillestki ega kaduda olematuks.

Tänapäeval peavad füüsikud meie Universumit suletud süsteemiks. Kui see tõsi on, peab selles leiduva energia koguhulk olema jääv. Energia saab vaid kehalt kehale üle kanduda või mistahes liigist mistahes teiseks liigiks muunduda.

Põhjalikumalt tutvustatakse energiaga seonduvat füüsika neljanda kursuse käigus.

Energia jäävuse seadus looduses ja tehnikas

Jõumasinad

Energia kasutamine on seotud eelkõige tööga, mida selle arvel teha saab. Kuna energia ei teki eimillestki, saab tööd teha vaid mingi energiaallika olemasolul. Kõik loomad - inimesed nende hulgas - vajavad ringi liikumiseks ning toimetamiseks energiat, mida nad saavad toidust. Inimesed on oma elu lihtsamaks muutmiseks leiutanud masinaid, mis töö nende eest ära teevad. Masinaid, mis välise energia arvel tööd teevad, nimetatakse jõumasinateks ehk mootoriteks.

Jõumasinad teevad välise energia arvel tööd

Jõumasinate käimapanekuks kasutatakse erinevaid energialiike. Tuule kineetiline energia paneb tööle tuuleturbiinid ning kõrgele kogutud vee potentsiaalne energia käivitab hüdroturbiine. Sõidukite liikumapanekuks kasutatakse enamasti mootoreid, milles tehakse tööd kütuse põlemisel eralduva soojusenergia arvel. Järjest enam rakendatakse tööstuses ja majapidamises elektrienergiat tarbivaid masinaid.

Jõumasinate tarbeks energia hankimine on alati seotud kulutustega. Seepärast on juba ammustest aegadest saati üritatud ehitada masinaid, mis töötaksid lõputult ilma välise energiaallikata. Igavese jõumasina ehk perpetuum mobile (ladina k. igavesti liikuv) loomine pole energia jäävuse seaduse kohaselt võimalik. Energia jäävuse seaduse järgi ei saa ükski masin teha rohkem tööd, kui see selleks kulutab. Veel enam: hõõrdumise tõttu pole võimalik ehitada isegi igiliikurit, mis ei teeks küll tööd, kuid säilitaks liikumise. Nii ei võtagi patendibürood enam läbivaatamiseks igaveste jõumasinate projekte, mis leiutajate arvates peaksid töötama lõputult eimillegi arvel.

Igavene jõumasin

Energia saamine ja muundamine

Jäävusseadus ütleb, et energia ei saa kaduda. Miks siis räägitakse, et kui me energiat kokku ei hoia, lõpeb see varsti otsa? Asi on selles, et töö tegemisel muutub energia mingist ühest liigist teise. Vastupidine muundumine aga sama lihtsasti toimuda ei saa.

Kui põletatakse naftat, siis selles leiduv süsinik ja vesinik reageerivad hapnikuga, tekib süsihappegaas ja veeaur ning selle käigus vabaneb soojus- ja valgusenergia, mida siis inimene kasutab. Ka vastupidine protsess on võimalik. Taimed võtavad juurtega maast vett ja lehtedega õhust süsihappegaasi ning sünteesivad Päikeselt tulevat valgusenergiat kasutades need biomassiks. Just selle nn fotosünteesi teel toodetud biomass ladestus miljonite aastate kestel kivimikihtide vahele. Biomassist tekkis päikeseenergiat salvestanud kivisüsi, nafta ja maagaas, mida me tänapäeval fossiilsete kütustena kaevandame ja põletame.

Fossiilne energia pole jääv

Energiat saab kerge vaevaga muundada vaid ühes suunas. Vastupidine protsess on keerukas ja aeglane. Seepärast tuleb eelistada energiaallikaid, mille taastumine toimub kiiresti. Maised energiaallikad taastuvad Päikeselt tuleva kiirguse arvel. Päike paneb kineetilist energiat andes õhu tuulena liikuma ja tõstab potentsiaalset energiat andes vee meredest jõgedesse. Taimed talletavad Päikeselt tulevat energiat tootes tselluloosi, tärklist, õli ja suhkrut.

Päike kiirgab Maale tohutul hulgal energiat veel mitme miljardi aasta kestel. Inimese ülesanne on seda paremini kasutama õppida.

Taastuv energia tuleb kõik Päikeselt

Gaaside ja vedelike voolamine

Üks huvitav ja mitmeid rakendusi leidnud nähtus, mille otseseks põhjuseks on mehaanilise energia jäävus, puudutab gaaside ja vedelike voolamist. Tutvume sellega lihtsustatud käsitluse kaudu.

Oletame, et vedelik voolab torus, mille läbimõõt pole kõikjal ühesugune. Mitte kokkusurutava vedeliku korral läbib toru erinevaid lõike sama ajaga alati sama ruumalaga vedelikukogus. On selge, et sellisel juhul peab voolukiirus toru peenemates osades olema suurem kui jämedamates.

Voolukiirus sõltub toru läbimõõdust

Kui toru peenemas osas on vedeliku kiirus suurem, siis on seal suurem ka selle kineetiline energia. Hõõrdumise puudumisel on vedeliku mehaaniline energia jääv. Kui kineetiline energia suureneb, peab potentsiaalne samavõrra vähenema. Potentsiaalne energia on aga teatavasti tingitud süsteemi sees mõjuvatest jõududest. Antud juhul on tegemist vedeliku rõhumisjõududega. Näeme, et mida suurem on voolukiirus, seda väiksem on selles kohas vedeliku rõhk. Sama kehtib ka gaaside voolamisel.

Suure voolukiiruse alas on rõhk väiksem ja pall püsib seal

Kirjeldatud seaduspärasuse avastas 1738. aastal Šveitsi matemaatik ja füüsik Daniel Bernoulli. Tänapäeval tuntakse seda Bernoulli printsiibi nime all: voolava gaasi või vedeliku rõhk on suurem nendes piirkondades, kus kiirus on väiksem, ja väiksem seal, kus kiirus on suurem.

Daniel Bernoulli

Bernoulli printsiip avaldub näiteks selles, kuidas tormituul majalt katuse lendu tõstab. Maja sees, kus õhk on paigal, on rõhk suurem kui katuse kohal tuule käes ja katus surutaksegi alt üles. Sama printsiipi kasutavad kogenud pallimängijad. Kui pall pöörlevana lendu lüüa, on õhu liikumise kiirus selle eri külgedel erinev ja tekkiv rõhkude vahe kallutab trajektoori otsesihist kõrvale.

Rõhu sõltuvus voolukiirusest on leidnud rakendust veel näiteks lennunduses. Lennuki tõstejõud tekib tänu sellele, et tiiva asendi ja erilise kuju tõttu voolab õhk selle kohal kiiremini kui all. Nii on tiiva all rõhk suurem ja see hoiabki lennukit õhus. Rõhu sõltuvust kiirusest kasutatakse ka lennukite kiiruse mõõtmisel.

Bernoulli printsiip leiab rakendust lennunduses